ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eucalgf GIF version

Theorem eucalgf 11663
Description: Domain and codomain of the step function 𝐸 for Euclid's Algorithm. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
eucalgval.1 𝐸 = (𝑥 ∈ ℕ0, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩))
Assertion
Ref Expression
eucalgf 𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶(ℕ0 × ℕ0)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem eucalgf
StepHypRef Expression
1 nnne0 8716 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
21adantl 275 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ≠ 0)
32neneqd 2306 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ) → ¬ 𝑦 = 0)
43iffalsed 3454 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ) → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) = ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩)
5 nnnn0 8952 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0)
65adantl 275 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ0)
7 nn0z 9042 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ)
8 zmodcl 10085 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 mod 𝑦) ∈ ℕ0)
97, 8sylan 281 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 mod 𝑦) ∈ ℕ0)
10 opelxpi 4541 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 mod 𝑦) ∈ ℕ0) → ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0))
116, 9, 10syl2anc 408 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ) → ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0))
124, 11eqeltrd 2194 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ) → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) ∈ (ℕ0 × ℕ0))
1312adantlr 468 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) ∈ (ℕ0 × ℕ0))
14 iftrue 3449 . . . . . 6 (𝑦 = 0 → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
1514adantl 275 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 = 0) → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
16 opelxpi 4541 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0))
1716adantr 274 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 = 0) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0))
1815, 17eqeltrd 2194 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 = 0) → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) ∈ (ℕ0 × ℕ0))
19 simpr 109 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℕ0)
20 elnn0 8947 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ0 ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∨ 𝑦 = 0))
2119, 20sylib 121 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ ℕ ∨ 𝑦 = 0))
2213, 18, 21mpjaodan 772 . . 3 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) ∈ (ℕ0 × ℕ0))
2322rgen2a 2463 . 2 𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) ∈ (ℕ0 × ℕ0)
24 eucalgval.1 . . 3 𝐸 = (𝑥 ∈ ℕ0, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩))
2524fmpo 6067 . 2 (∀𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↔ 𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶(ℕ0 × ℕ0))
2623, 25mpbi 144 1 𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶(ℕ0 × ℕ0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103  wo 682   = wceq 1316  wcel 1465  wne 2285  wral 2393  ifcif 3444  cop 3500   × cxp 4507  wf 5089  (class class class)co 5742  cmpo 5744  0cc0 7588  cn 8688  0cn0 8945  cz 9022   mod cmo 10063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-q 9380  df-rp 9410  df-fl 10011  df-mod 10064
This theorem is referenced by:  eucalgcvga  11666  eucalg  11667
  Copyright terms: Public domain W3C validator