ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eucalgval2 GIF version

Theorem eucalgval2 10642
Description: The value of the step function 𝐸 for Euclid's Algorithm on an ordered pair. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
eucalgval.1 𝐸 = (𝑥 ∈ ℕ0, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩))
Assertion
Ref Expression
eucalgval2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐸𝑁) = if(𝑁 = 0, ⟨𝑀, 𝑁⟩, ⟨𝑁, (𝑀 mod 𝑁)⟩))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑀   𝑥,𝑁,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem eucalgval2
StepHypRef Expression
1 opexg 4011 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ⟨𝑀, 𝑁⟩ ∈ V)
21adantr 270 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → ⟨𝑀, 𝑁⟩ ∈ V)
3 simpr 108 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
43adantr 270 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5 simpl 107 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
65nn0zd 8600 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
76adantr 270 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
8 simpr 108 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ¬ 𝑁 = 0)
98neqned 2256 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ≠ 0)
10 elnnne0 8421 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0))
114, 9, 10sylanbrc 408 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
127, 11zmodcld 9479 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑀 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
13 opexg 4011 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 mod 𝑁) ∈ ℕ0) → ⟨𝑁, (𝑀 mod 𝑁)⟩ ∈ V)
144, 12, 13syl2anc 403 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ⟨𝑁, (𝑀 mod 𝑁)⟩ ∈ V)
153nn0zd 8600 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
16 0zd 8496 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
17 zdceq 8556 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
1815, 16, 17syl2anc 403 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → DECID 𝑁 = 0)
192, 14, 18ifcldadc 3395 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → if(𝑁 = 0, ⟨𝑀, 𝑁⟩, ⟨𝑁, (𝑀 mod 𝑁)⟩) ∈ V)
20 simpr 108 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑀𝑦 = 𝑁) → 𝑦 = 𝑁)
2120eqeq1d 2091 . . . 4 ((𝑥 = 𝑀𝑦 = 𝑁) → (𝑦 = 0 ↔ 𝑁 = 0))
22 opeq12 3592 . . . 4 ((𝑥 = 𝑀𝑦 = 𝑁) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑀, 𝑁⟩)
23 oveq12 5572 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑀𝑦 = 𝑁) → (𝑥 mod 𝑦) = (𝑀 mod 𝑁))
2420, 23opeq12d 3598 . . . 4 ((𝑥 = 𝑀𝑦 = 𝑁) → ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩ = ⟨𝑁, (𝑀 mod 𝑁)⟩)
2521, 22, 24ifbieq12d 3392 . . 3 ((𝑥 = 𝑀𝑦 = 𝑁) → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) = if(𝑁 = 0, ⟨𝑀, 𝑁⟩, ⟨𝑁, (𝑀 mod 𝑁)⟩))
26 eucalgval.1 . . 3 𝐸 = (𝑥 ∈ ℕ0, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩))
2725, 26ovmpt2ga 5681 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ if(𝑁 = 0, ⟨𝑀, 𝑁⟩, ⟨𝑁, (𝑀 mod 𝑁)⟩) ∈ V) → (𝑀𝐸𝑁) = if(𝑁 = 0, ⟨𝑀, 𝑁⟩, ⟨𝑁, (𝑀 mod 𝑁)⟩))
2819, 27mpd3an3 1270 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐸𝑁) = if(𝑁 = 0, ⟨𝑀, 𝑁⟩, ⟨𝑁, (𝑀 mod 𝑁)⟩))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  DECID wdc 776   = wceq 1285  wcel 1434  wne 2249  Vcvv 2610  ifcif 3368  cop 3419  (class class class)co 5563  cmpt2 5565  0cc0 7095  cn 8158  0cn0 8407  cz 8484   mod cmo 9456
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208  ax-arch 7209
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-n0 8408  df-z 8485  df-q 8838  df-rp 8868  df-fl 9404  df-mod 9457
This theorem is referenced by:  eucalgval  10643
  Copyright terms: Public domain W3C validator