ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eupickbi GIF version

Theorem eupickbi 1998
Description: Theorem *14.26 in [WhiteheadRussell] p. 192. (Contributed by Andrew Salmon, 11-Jul-2011.)
Assertion
Ref Expression
eupickbi (∃!𝑥𝜑 → (∃𝑥(𝜑𝜓) ↔ ∀𝑥(𝜑𝜓)))

Proof of Theorem eupickbi
StepHypRef Expression
1 eupicka 1996 . . 3 ((∃!𝑥𝜑 ∧ ∃𝑥(𝜑𝜓)) → ∀𝑥(𝜑𝜓))
21ex 112 . 2 (∃!𝑥𝜑 → (∃𝑥(𝜑𝜓) → ∀𝑥(𝜑𝜓)))
3 hba1 1449 . . . . 5 (∀𝑥(𝜑𝜓) → ∀𝑥𝑥(𝜑𝜓))
4 ancl 305 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → (𝜑 → (𝜑𝜓)))
5 simpl 106 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → 𝜑)
64, 5impbid1 134 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → (𝜑 ↔ (𝜑𝜓)))
76sps 1446 . . . . 5 (∀𝑥(𝜑𝜓) → (𝜑 ↔ (𝜑𝜓)))
83, 7eubidh 1922 . . . 4 (∀𝑥(𝜑𝜓) → (∃!𝑥𝜑 ↔ ∃!𝑥(𝜑𝜓)))
9 euex 1946 . . . 4 (∃!𝑥(𝜑𝜓) → ∃𝑥(𝜑𝜓))
108, 9syl6bi 156 . . 3 (∀𝑥(𝜑𝜓) → (∃!𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑𝜓)))
1110com12 30 . 2 (∃!𝑥𝜑 → (∀𝑥(𝜑𝜓) → ∃𝑥(𝜑𝜓)))
122, 11impbid 124 1 (∃!𝑥𝜑 → (∃𝑥(𝜑𝜓) ↔ ∀𝑥(𝜑𝜓)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  wal 1257  wex 1397  ∃!weu 1916
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator