Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  evennn02n GIF version

Theorem evennn02n 10194
 Description: A nonnegative integer is even iff it is twice another nonnegative integer. (Contributed by AV, 12-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
evennn02n (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (2 · 𝑛) = 𝑁))
Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem evennn02n
StepHypRef Expression
1 eleq1 2116 . . . . . . . 8 ((2 · 𝑛) = 𝑁 → ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
2 simpr 107 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
3 2re 8060 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
43a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℝ)
5 zre 8306 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℝ)
65adantl 266 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℝ)
7 2pos 8081 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
87a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ) → 0 < 2)
9 nn0ge0 8264 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (2 · 𝑛))
109adantr 265 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ) → 0 ≤ (2 · 𝑛))
11 prodge0 7895 . . . . . . . . . . 11 (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (0 < 2 ∧ 0 ≤ (2 · 𝑛))) → 0 ≤ 𝑛)
124, 6, 8, 10, 11syl22anc 1147 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ) → 0 ≤ 𝑛)
13 elnn0z 8315 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑛))
142, 12, 13sylanbrc 402 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
1514ex 112 . . . . . . . 8 ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℕ0))
161, 15syl6bir 157 . . . . . . 7 ((2 · 𝑛) = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℕ0)))
1716com13 78 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) = 𝑁𝑛 ∈ ℕ0)))
1817impcom 120 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) = 𝑁𝑛 ∈ ℕ0))
1918pm4.71rd 380 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) = 𝑁 ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁)))
2019bicomd 133 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) ↔ (2 · 𝑛) = 𝑁))
2120rexbidva 2340 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁))
22 nn0ssz 8320 . . 3 0 ⊆ ℤ
23 rexss 3035 . . 3 (ℕ0 ⊆ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (2 · 𝑛) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁)))
2422, 23mp1i 10 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (2 · 𝑛) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁)))
25 even2n 10185 . . 3 (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁)
2625a1i 9 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁))
2721, 24, 263bitr4rd 214 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (2 · 𝑛) = 𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 101   ↔ wb 102   = wceq 1259   ∈ wcel 1409  ∃wrex 2324   ⊆ wss 2945   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540  ℝcr 6946  0cc0 6947   · cmul 6952   < clt 7119   ≤ cle 7120  2c2 8040  ℕ0cn0 8239  ℤcz 8302   ∥ cdvds 10108 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-inn 7991  df-2 8049  df-n0 8240  df-z 8303  df-dvds 10109 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator