ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ex-fl GIF version

Theorem ex-fl 10258
Description: Example for df-fl 9221. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-fl ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl
StepHypRef Expression
1 1re 7083 . . . 4 1 ∈ ℝ
2 3re 8063 . . . . 5 3 ∈ ℝ
32rehalfcli 8229 . . . 4 (3 / 2) ∈ ℝ
4 2cn 8060 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
54mulid2i 7087 . . . . . 6 (1 · 2) = 2
6 2lt3 8152 . . . . . 6 2 < 3
75, 6eqbrtri 3810 . . . . 5 (1 · 2) < 3
8 2pos 8080 . . . . . 6 0 < 2
9 2re 8059 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
101, 2, 9ltmuldivi 7962 . . . . . 6 (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
118, 10ax-mp 7 . . . . 5 ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
127, 11mpbi 137 . . . 4 1 < (3 / 2)
131, 3, 12ltleii 7178 . . 3 1 ≤ (3 / 2)
14 3lt4 8154 . . . . . 6 3 < 4
15 2t2e4 8136 . . . . . 6 (2 · 2) = 4
1614, 15breqtrri 3816 . . . . 5 3 < (2 · 2)
179, 8pm3.2i 261 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18 ltdivmul 7916 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
192, 9, 17, 18mp3an 1243 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
2016, 19mpbir 138 . . . 4 (3 / 2) < 2
21 df-2 8048 . . . 4 2 = (1 + 1)
2220, 21breqtri 3814 . . 3 (3 / 2) < (1 + 1)
23 3z 8330 . . . . 5 3 ∈ ℤ
24 2nn 8143 . . . . 5 2 ∈ ℕ
25 znq 8655 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 / 2) ∈ ℚ)
2623, 24, 25mp2an 410 . . . 4 (3 / 2) ∈ ℚ
27 1z 8327 . . . 4 1 ∈ ℤ
28 flqbi 9239 . . . 4 (((3 / 2) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
2926, 27, 28mp2an 410 . . 3 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
3013, 22, 29mpbir2an 860 . 2 (⌊‘(3 / 2)) = 1
319renegcli 7335 . . . 4 -2 ∈ ℝ
323renegcli 7335 . . . 4 -(3 / 2) ∈ ℝ
333, 9ltnegi 7558 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
3420, 33mpbi 137 . . . 4 -2 < -(3 / 2)
3531, 32, 34ltleii 7178 . . 3 -2 ≤ -(3 / 2)
364negcli 7341 . . . . . . 7 -2 ∈ ℂ
37 ax-1cn 7034 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
38 negdi2 7331 . . . . . . 7 ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
3936, 37, 38mp2an 410 . . . . . 6 -(-2 + 1) = (--2 − 1)
404negnegi 7343 . . . . . . 7 --2 = 2
4140oveq1i 5549 . . . . . 6 (--2 − 1) = (2 − 1)
4239, 41eqtri 2076 . . . . 5 -(-2 + 1) = (2 − 1)
43 2m1e1 8106 . . . . . 6 (2 − 1) = 1
4443, 12eqbrtri 3810 . . . . 5 (2 − 1) < (3 / 2)
4542, 44eqbrtri 3810 . . . 4 -(-2 + 1) < (3 / 2)
4631, 1readdcli 7097 . . . . 5 (-2 + 1) ∈ ℝ
4746, 3ltnegcon1i 7564 . . . 4 (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
4845, 47mpbi 137 . . 3 -(3 / 2) < (-2 + 1)
49 qnegcl 8667 . . . . 5 ((3 / 2) ∈ ℚ → -(3 / 2) ∈ ℚ)
5026, 49ax-mp 7 . . . 4 -(3 / 2) ∈ ℚ
51 2z 8329 . . . . 5 2 ∈ ℤ
52 znegcl 8332 . . . . 5 (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
5351, 52ax-mp 7 . . . 4 -2 ∈ ℤ
54 flqbi 9239 . . . 4 ((-(3 / 2) ∈ ℚ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
5550, 53, 54mp2an 410 . . 3 ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
5635, 48, 55mpbir2an 860 . 2 (⌊‘-(3 / 2)) = -2
5730, 56pm3.2i 261 1 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 101  wb 102   = wceq 1259  wcel 1409   class class class wbr 3791  cfv 4929  (class class class)co 5539  cc 6944  cr 6945  0cc0 6946  1c1 6947   + caddc 6949   · cmul 6951   < clt 7118  cle 7119  cmin 7244  -cneg 7245   / cdiv 7724  cn 7989  2c2 8039  3c3 8040  4c4 8041  cz 8301  cq 8650  cfl 9219
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-mulrcl 7040  ax-addcom 7041  ax-mulcom 7042  ax-addass 7043  ax-mulass 7044  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-1rid 7048  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-precex 7051  ax-cnre 7052  ax-pre-ltirr 7053  ax-pre-ltwlin 7054  ax-pre-lttrn 7055  ax-pre-apti 7056  ax-pre-ltadd 7057  ax-pre-mulgt0 7058  ax-pre-mulext 7059  ax-arch 7060
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-i1p 6622  df-iplp 6623  df-iltp 6625  df-enr 6868  df-nr 6869  df-ltr 6872  df-0r 6873  df-1r 6874  df-0 6953  df-1 6954  df-r 6956  df-lt 6959  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-sub 7246  df-neg 7247  df-reap 7639  df-ap 7646  df-div 7725  df-inn 7990  df-2 8048  df-3 8049  df-4 8050  df-n0 8239  df-z 8302  df-q 8651  df-rp 8681  df-fl 9221
This theorem is referenced by:  ex-ceil  10259
  Copyright terms: Public domain W3C validator