Theorem ex-fl 12937

Description: Example for df-fl 10043. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 7765	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 8794	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 8968	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 8791	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mulid2i 7769	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 8890	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 3949	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 8811	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 8790	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 8680	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 144	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 7866	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 8892	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 8874	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 3955	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 270	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 8634	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1315	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 145	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 8779	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 3953	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		3z 9083	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
24		2nn 8881	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
25		znq 9416	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 / 2) ∈ ℚ)
26	23, 24, 25	mp2an 422	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℚ
27		1z 9080	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
28		flqbi 10063	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
29	26, 27, 28	mp2an 422	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
30	13, 22, 29	mpbir2an 926	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
31	9	renegcli 8024	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
32	3	renegcli 8024	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
33	3, 9	ltnegi 8255	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
34	20, 33	mpbi 144	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
35	31, 32, 34	ltleii 7866	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
36	4	negcli 8030	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
37		ax-1cn 7713	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
38		negdi2 8020	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
39	36, 37, 38	mp2an 422	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
40	4	negnegi 8032	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
41	40	oveq1i 5784	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
42	39, 41	eqtri 2160	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
43		2m1e1 8838	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
44	43, 12	eqbrtri 3949	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
45	42, 44	eqbrtri 3949	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
46	31, 1	readdcli 7779	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
47	46, 3	ltnegcon1i 8261	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
48	45, 47	mpbi 144	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
49		qnegcl 9428	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℚ → -(3 / 2) ∈ ℚ)
50	26, 49	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℚ
51		2z 9082	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
52		znegcl 9085	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
53	51, 52	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
54		flqbi 10063	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℚ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
55	50, 53, 54	mp2an 422	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
56	35, 48, 55	mpbir2an 926	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
57	30, 56	pm3.2i 270	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  ℝcr 7619  0cc0 7620  1c1 7621   + caddc 7623   · cmul 7625   < clt 7800   ≤ cle 7801   − cmin 7933  -cneg 7934   / cdiv 8432  ℕcn 8720  2c2 8771  3c3 8772  4c4 8773  ℤcz 9054  ℚcq 9411  ⌊cfl 10041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-q 9412  df-rp 9442  df-fl 10043

This theorem is referenced by:  ex-ceil  12938