Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  exbtwnz GIF version

Theorem exbtwnz 9389
 Description: If a real number is between an integer and its successor, there is a unique greatest integer less than or equal to the real number. (Contributed by Jim Kingdon, 10-May-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
exbtwnz.ex (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
exbtwnz.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
exbtwnz (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Proof of Theorem exbtwnz
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 exbtwnz.ex . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
2 simplrl 502 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℤ)
32zred 8602 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
4 exbtwnz.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
54ad2antrr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 simplrr 503 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝑦 ∈ ℤ)
76zred 8602 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
8 1red 7248 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 1 ∈ ℝ)
97, 8readdcld 7262 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1)))) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
10 simprll 504 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝑥𝐴)
11 simprrr 507 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝐴 < (𝑦 + 1))
123, 5, 9, 10, 11lelttrd 7353 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝑥 < (𝑦 + 1))
13 zleltp1 8539 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥𝑦𝑥 < (𝑦 + 1)))
142, 6, 13syl2anc 403 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1)))) → (𝑥𝑦𝑥 < (𝑦 + 1)))
1512, 14mpbird 165 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝑥𝑦)
163, 8readdcld 7262 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1)))) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
17 simprrl 506 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝑦𝐴)
18 simprlr 505 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝐴 < (𝑥 + 1))
197, 5, 16, 17, 18lelttrd 7353 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝑦 < (𝑥 + 1))
20 zleltp1 8539 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦𝑥𝑦 < (𝑥 + 1)))
216, 2, 20syl2anc 403 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1)))) → (𝑦𝑥𝑦 < (𝑥 + 1)))
2219, 21mpbird 165 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝑦𝑥)
233, 7letri3d 7345 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1)))) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (𝑥𝑦𝑦𝑥)))
2415, 22, 23mpbir2and 886 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝑥 = 𝑦)
2524ex 113 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1))) → 𝑥 = 𝑦))
2625ralrimivva 2448 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1))) → 𝑥 = 𝑦))
27 breq1 3808 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
28 oveq1 5570 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + 1) = (𝑦 + 1))
2928breq2d 3817 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 < (𝑥 + 1) ↔ 𝐴 < (𝑦 + 1)))
3027, 29anbi12d 457 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1))))
3130rmo4 2794 . . 3 (∃*𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1))) → 𝑥 = 𝑦))
3226, 31sylibr 132 . 2 (𝜑 → ∃*𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
33 reu5 2571 . 2 (∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ (∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ ∃*𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))))
341, 32, 33sylanbrc 408 1 (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∈ wcel 1434  ∀wral 2353  ∃wrex 2354  ∃!wreu 2355  ∃*wrmo 2356   class class class wbr 3805  (class class class)co 5563  ℝcr 7094  1c1 7096   + caddc 7098   < clt 7267   ≤ cle 7268  ℤcz 8484 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-addcom 7190  ax-addass 7192  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-inn 8159  df-n0 8408  df-z 8485 This theorem is referenced by:  qbtwnz  9390  apbtwnz  9408
 Copyright terms: Public domain W3C validator