Theorem exbtwnzlemstep 10025

Description: Lemma for exbtwnzlemex 10027. Induction step. (Contributed by Jim Kingdon, 10-May-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
exbtwnzlemstep.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
exbtwnzlemstep.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
exbtwnzlemstep.tri	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑛))

Assertion

Ref	Expression
exbtwnzlemstep	⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑚,𝐾,𝑛   𝜑,𝑚,𝑛

Proof of Theorem exbtwnzlemstep

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpllr 523	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℤ)
2		exbtwnzlemstep.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
3	2	ad3antrrr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐾 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 9172	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐾 ∈ ℤ)
5	1, 4	zaddcld 9177	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → (𝑚 + 𝐾) ∈ ℤ)
6		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴)
7		exbtwnzlemstep.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	ad3antrrr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
9	5	zred 9173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → (𝑚 + 𝐾) ∈ ℝ)
10		1red 7781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
11	9, 10	readdcld 7795	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → ((𝑚 + 𝐾) + 1) ∈ ℝ)
12	3	nnred 8733	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐾 ∈ ℝ)
13	9, 12	readdcld 7795	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾) ∈ ℝ)
14		simplrr 525	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))
15	1	zcnd 9174	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℂ)
16	3	nncnd 8734	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐾 ∈ ℂ)
17		1cnd 7782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
18	15, 16, 17	addassd 7788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → ((𝑚 + 𝐾) + 1) = (𝑚 + (𝐾 + 1)))
19	14, 18	breqtrrd 3956	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐴 < ((𝑚 + 𝐾) + 1))
20	3	nnge1d 8763	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 1 ≤ 𝐾)
21	10, 12, 9, 20	leadd2dd 8322	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → ((𝑚 + 𝐾) + 1) ≤ ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾))
22	8, 11, 13, 19, 21	ltletrd 8185	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐴 < ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾))
23		breq1 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 𝐾) → (𝑗 ≤ 𝐴 ↔ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴))
24		oveq1 5781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 𝐾) → (𝑗 + 𝐾) = ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾))
25	24	breq2d 3941	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 𝐾) → (𝐴 < (𝑗 + 𝐾) ↔ 𝐴 < ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾)))
26	23, 25	anbi12d 464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 𝐾) → ((𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)) ↔ ((𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾))))
27	26	rspcev 2789	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑚 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ ((𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
28	5, 6, 22, 27	syl12anc 1214	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
29		simpllr 523	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝑚 ∈ ℤ)
30		simplrl 524	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝑚 ≤ 𝐴)
31		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))
32		breq1 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝑗 ≤ 𝐴 ↔ 𝑚 ≤ 𝐴))
33		oveq1 5781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝑗 + 𝐾) = (𝑚 + 𝐾))
34	33	breq2d 3941	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝐴 < (𝑗 + 𝐾) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
35	32, 34	anbi12d 464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → ((𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)) ↔ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))))
36	35	rspcev 2789	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
37	29, 30, 31, 36	syl12anc 1214	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
38		breq1 3932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 𝐾) → (𝑛 ≤ 𝐴 ↔ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴))
39		breq2 3933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 𝐾) → (𝐴 < 𝑛 ↔ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
40	38, 39	orbi12d 782	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 𝐾) → ((𝑛 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑛) ↔ ((𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))))
41		exbtwnzlemstep.tri	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑛))
42	41	ralrimiva 2505	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑛))
43	42	ad2antrr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∀𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑛))
44		simplr 519	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
45	2	ad2antrr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝐾 ∈ ℕ)
46	45	nnzd 9172	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝐾 ∈ ℤ)
47	44, 46	zaddcld 9177	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → (𝑚 + 𝐾) ∈ ℤ)
48	40, 43, 47	rspcdva 2794	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ((𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
49	28, 37, 48	mpjaodan 787	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
50	49	ex 114	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
51	50	rexlimdva 2549	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
52	51	imp 123	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
53		breq1 3932	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑚 ≤ 𝐴 ↔ 𝑗 ≤ 𝐴))
54		oveq1 5781	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑚 + 𝐾) = (𝑗 + 𝐾))
55	54	breq2d 3941	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝐴 < (𝑚 + 𝐾) ↔ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
56	53, 55	anbi12d 464	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → ((𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) ↔ (𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
57	56	cbvrexv 2655	. 2 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
58	52, 57	sylibr 133	1 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 697   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  ∃wrex 2417   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  ℝcr 7619  1c1 7621   + caddc 7623   < clt 7800   ≤ cle 7801  ℕcn 8720  ℤcz 9054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055

This theorem is referenced by:  exbtwnzlemshrink  10026