Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expadd GIF version

 Description: Sum of exponents law for nonnegative integer exponentiation. Proposition 10-4.2(a) of [Gleason] p. 135. (Contributed by NM, 30-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
expadd ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁)))

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5572 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (𝑀 + 𝑗) = (𝑀 + 0))
21oveq2d 5580 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 + 0)))
3 oveq2 5572 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (𝐴𝑗) = (𝐴↑0))
43oveq2d 5580 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑗)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴↑0)))
52, 4eqeq12d 2097 . . . . 5 (𝑗 = 0 → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑗)) ↔ (𝐴↑(𝑀 + 0)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴↑0))))
65imbi2d 228 . . . 4 (𝑗 = 0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 0)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴↑0)))))
7 oveq2 5572 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝑀 + 𝑗) = (𝑀 + 𝑘))
87oveq2d 5580 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 + 𝑘)))
9 oveq2 5572 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑘))
109oveq2d 5580 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑗)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑘)))
118, 10eqeq12d 2097 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑗)) ↔ (𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑘))))
1211imbi2d 228 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑘)))))
13 oveq2 5572 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀 + 𝑗) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
1413oveq2d 5580 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))))
15 oveq2 5572 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
1615oveq2d 5580 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑗)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))))
1714, 16eqeq12d 2097 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑗)) ↔ (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1)))))
1817imbi2d 228 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))))))
19 oveq2 5572 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (𝑀 + 𝑗) = (𝑀 + 𝑁))
2019oveq2d 5580 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)))
21 oveq2 5572 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑁))
2221oveq2d 5580 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑗)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁)))
2320, 22eqeq12d 2097 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑗)) ↔ (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁))))
2423imbi2d 228 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁)))))
25 nn0cn 8435 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℂ)
2625addid1d 7394 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 0) = 𝑀)
2726adantl 271 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 0) = 𝑀)
2827oveq2d 5580 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 0)) = (𝐴𝑀))
29 expcl 9661 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
3029mulid1d 7268 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑀) · 1) = (𝐴𝑀))
3128, 30eqtr4d 2118 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 0)) = ((𝐴𝑀) · 1))
32 exp0 9647 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
3332adantr 270 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑0) = 1)
3433oveq2d 5580 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑀) · (𝐴↑0)) = ((𝐴𝑀) · 1))
3531, 34eqtr4d 2118 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 0)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴↑0)))
36 oveq1 5571 . . . . . . 7 ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑘)) → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) · 𝐴) = (((𝐴𝑀) · (𝐴𝑘)) · 𝐴))
37 nn0cn 8435 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
38 ax-1cn 7201 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
39 addass 7235 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑘) + 1) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
4038, 39mp3an3 1258 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑘) + 1) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
4125, 37, 40syl2an 283 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑘) + 1) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
4241adantll 460 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑘) + 1) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
4342oveq2d 5580 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑘) + 1)) = (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))))
44 simpll 496 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
45 nn0addcl 8460 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ0)
4645adantll 460 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ0)
47 expp1 9650 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑘) + 1)) = ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) · 𝐴))
4844, 46, 47syl2anc 403 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑘) + 1)) = ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) · 𝐴))
4943, 48eqtr3d 2117 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) · 𝐴))
50 expp1 9650 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
5150adantlr 461 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
5251oveq2d 5580 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀) · ((𝐴𝑘) · 𝐴)))
5329adantr 270 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
54 expcl 9661 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
5554adantlr 461 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
5653, 55, 44mulassd 7274 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝑀) · (𝐴𝑘)) · 𝐴) = ((𝐴𝑀) · ((𝐴𝑘) · 𝐴)))
5752, 56eqtr4d 2118 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))) = (((𝐴𝑀) · (𝐴𝑘)) · 𝐴))
5849, 57eqeq12d 2097 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))) ↔ ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) · 𝐴) = (((𝐴𝑀) · (𝐴𝑘)) · 𝐴)))
5936, 58syl5ibr 154 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑘)) → (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1)))))
6059expcom 114 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑘)) → (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))))))
6160a2d 26 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑘))) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))))))
626, 12, 18, 24, 35, 61nn0ind 8612 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁))))
6362expdcom 1372 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁)))))
64633imp 1133 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∧ w3a 920   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  (class class class)co 5564  ℂcc 7111  0cc0 7113  1c1 7114   + caddc 7116   · cmul 7118  ℕ0cn0 8425  ↑cexp 9642 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7199  ax-resscn 7200  ax-1cn 7201  ax-1re 7202  ax-icn 7203  ax-addcl 7204  ax-addrcl 7205  ax-mulcl 7206  ax-mulrcl 7207  ax-addcom 7208  ax-mulcom 7209  ax-addass 7210  ax-mulass 7211  ax-distr 7212  ax-i2m1 7213  ax-0lt1 7214  ax-1rid 7215  ax-0id 7216  ax-rnegex 7217  ax-precex 7218  ax-cnre 7219  ax-pre-ltirr 7220  ax-pre-ltwlin 7221  ax-pre-lttrn 7222  ax-pre-apti 7223  ax-pre-ltadd 7224  ax-pre-mulgt0 7225  ax-pre-mulext 7226 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-recs 5975  df-frec 6061  df-pnf 7287  df-mnf 7288  df-xr 7289  df-ltxr 7290  df-le 7291  df-sub 7418  df-neg 7419  df-reap 7812  df-ap 7819  df-div 7898  df-inn 8177  df-n0 8426  df-z 8503  df-uz 8771  df-iseq 9592  df-iexp 9643 This theorem is referenced by:  expaddzaplem  9686  expaddzap  9687  expmul  9688  i4  9744  expaddd  9774
 Copyright terms: Public domain W3C validator