Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expadd GIF version

 Description: Sum of exponents law for nonnegative integer exponentiation. Proposition 10-4.2(a) of [Gleason] p. 135. (Contributed by NM, 30-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
expadd ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁)))

Proof of Theorem expadd
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5547 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (𝑀 + 𝑗) = (𝑀 + 0))
21oveq2d 5555 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 + 0)))
3 oveq2 5547 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (𝐴𝑗) = (𝐴↑0))
43oveq2d 5555 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑗)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴↑0)))
52, 4eqeq12d 2070 . . . . 5 (𝑗 = 0 → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑗)) ↔ (𝐴↑(𝑀 + 0)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴↑0))))
65imbi2d 223 . . . 4 (𝑗 = 0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 0)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴↑0)))))
7 oveq2 5547 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝑀 + 𝑗) = (𝑀 + 𝑘))
87oveq2d 5555 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 + 𝑘)))
9 oveq2 5547 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑘))
109oveq2d 5555 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑗)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑘)))
118, 10eqeq12d 2070 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑗)) ↔ (𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑘))))
1211imbi2d 223 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑘)))))
13 oveq2 5547 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀 + 𝑗) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
1413oveq2d 5555 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))))
15 oveq2 5547 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
1615oveq2d 5555 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑗)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))))
1714, 16eqeq12d 2070 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑗)) ↔ (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1)))))
1817imbi2d 223 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))))))
19 oveq2 5547 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (𝑀 + 𝑗) = (𝑀 + 𝑁))
2019oveq2d 5555 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)))
21 oveq2 5547 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑁))
2221oveq2d 5555 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑗)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁)))
2320, 22eqeq12d 2070 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑗)) ↔ (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁))))
2423imbi2d 223 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁)))))
25 nn0cn 8248 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℂ)
2625addid1d 7222 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 0) = 𝑀)
2726adantl 266 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 0) = 𝑀)
2827oveq2d 5555 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 0)) = (𝐴𝑀))
29 expcl 9432 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
3029mulid1d 7101 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑀) · 1) = (𝐴𝑀))
3128, 30eqtr4d 2091 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 0)) = ((𝐴𝑀) · 1))
32 exp0 9418 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
3332adantr 265 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑0) = 1)
3433oveq2d 5555 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑀) · (𝐴↑0)) = ((𝐴𝑀) · 1))
3531, 34eqtr4d 2091 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 0)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴↑0)))
36 oveq1 5546 . . . . . . 7 ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑘)) → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) · 𝐴) = (((𝐴𝑀) · (𝐴𝑘)) · 𝐴))
37 nn0cn 8248 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
38 ax-1cn 7034 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
39 addass 7068 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑘) + 1) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
4038, 39mp3an3 1232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑘) + 1) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
4125, 37, 40syl2an 277 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑘) + 1) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
4241adantll 453 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑘) + 1) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
4342oveq2d 5555 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑘) + 1)) = (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))))
44 simpll 489 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
45 nn0addcl 8273 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ0)
4645adantll 453 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ0)
47 expp1 9421 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑘) + 1)) = ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) · 𝐴))
4844, 46, 47syl2anc 397 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑘) + 1)) = ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) · 𝐴))
4943, 48eqtr3d 2090 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) · 𝐴))
50 expp1 9421 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
5150adantlr 454 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
5251oveq2d 5555 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀) · ((𝐴𝑘) · 𝐴)))
5329adantr 265 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
54 expcl 9432 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
5554adantlr 454 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
5653, 55, 44mulassd 7107 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝑀) · (𝐴𝑘)) · 𝐴) = ((𝐴𝑀) · ((𝐴𝑘) · 𝐴)))
5752, 56eqtr4d 2091 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))) = (((𝐴𝑀) · (𝐴𝑘)) · 𝐴))
5849, 57eqeq12d 2070 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))) ↔ ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) · 𝐴) = (((𝐴𝑀) · (𝐴𝑘)) · 𝐴)))
5936, 58syl5ibr 149 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑘)) → (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1)))))
6059expcom 113 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑘)) → (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))))))
6160a2d 26 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑘))) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))))))
626, 12, 18, 24, 35, 61nn0ind 8410 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁))))
6362expdcom 1347 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁)))))
64633imp 1109 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 101   ∧ w3a 896   = wceq 1259   ∈ wcel 1409  (class class class)co 5539  ℂcc 6944  0cc0 6946  1c1 6947   + caddc 6949   · cmul 6951  ℕ0cn0 8238  ↑cexp 9413 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-mulrcl 7040  ax-addcom 7041  ax-mulcom 7042  ax-addass 7043  ax-mulass 7044  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-1rid 7048  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-precex 7051  ax-cnre 7052  ax-pre-ltirr 7053  ax-pre-ltwlin 7054  ax-pre-lttrn 7055  ax-pre-apti 7056  ax-pre-ltadd 7057  ax-pre-mulgt0 7058  ax-pre-mulext 7059 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-if 3359  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-frec 6008  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-i1p 6622  df-iplp 6623  df-iltp 6625  df-enr 6868  df-nr 6869  df-ltr 6872  df-0r 6873  df-1r 6874  df-0 6953  df-1 6954  df-r 6956  df-lt 6959  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-sub 7246  df-neg 7247  df-reap 7639  df-ap 7646  df-div 7725  df-inn 7990  df-n0 8239  df-z 8302  df-uz 8569  df-iseq 9370  df-iexp 9414 This theorem is referenced by:  expaddzaplem  9457  expaddzap  9458  expmul  9459  i4  9515  expaddd  9544
 Copyright terms: Public domain W3C validator