Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expge0 GIF version

Theorem expge0 9456
 Description: Nonnegative integer exponentiation with a nonnegative mantissa is nonnegative. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expge0 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (𝐴𝑁))

Proof of Theorem expge0
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3796 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ 𝐴))
21elrab 2721 . . . 4 (𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
3 ssrab2 3053 . . . . . . 7 {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ⊆ ℝ
4 ax-resscn 7034 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
53, 4sstri 2982 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ⊆ ℂ
6 breq2 3796 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ 𝑥))
76elrab 2721 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
8 breq2 3796 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ 𝑦))
98elrab 2721 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦))
10 remulcl 7067 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
1110ad2ant2r 486 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
12 mulge0 7684 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦)) → 0 ≤ (𝑥 · 𝑦))
13 breq2 3796 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑥 · 𝑦) → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ (𝑥 · 𝑦)))
1413elrab 2721 . . . . . . . 8 ((𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥 · 𝑦)))
1511, 12, 14sylanbrc 402 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧})
167, 9, 15syl2anb 279 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧})
17 1re 7084 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
18 0le1 7550 . . . . . . 7 0 ≤ 1
19 breq2 3796 . . . . . . . 8 (𝑧 = 1 → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ 1))
2019elrab 2721 . . . . . . 7 (1 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1))
2117, 18, 20mpbir2an 860 . . . . . 6 1 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧}
225, 16, 21expcllem 9431 . . . . 5 ((𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧})
23 breq2 3796 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝐴𝑁) → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ (𝐴𝑁)))
2423elrab 2721 . . . . . 6 ((𝐴𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ↔ ((𝐴𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴𝑁)))
2524simprbi 264 . . . . 5 ((𝐴𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} → 0 ≤ (𝐴𝑁))
2622, 25syl 14 . . . 4 ((𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴𝑁))
272, 26sylanbr 273 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴𝑁))
28273impa 1110 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴𝑁))
29283com23 1121 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (𝐴𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 101   ∧ w3a 896   ∈ wcel 1409  {crab 2327   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540  ℂcc 6945  ℝcr 6946  0cc0 6947  1c1 6948   · cmul 6952   ≤ cle 7120  ℕ0cn0 8239  ↑cexp 9419 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-if 3360  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-frec 6009  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647  df-div 7726  df-inn 7991  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570  df-iseq 9376  df-iexp 9420 This theorem is referenced by:  leexp2r  9474  leexp1a  9475  expge0d  9567
 Copyright terms: Public domain W3C validator