Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expivallem GIF version

Theorem expivallem 9574
 Description: Lemma for expival 9575. If we take a complex number apart from zero and raise it to a positive integer power, the result is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
expivallem ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑁) # 0)

Proof of Theorem expivallem
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5209 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑛) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘1))
21breq1d 3803 . . . . 5 (𝑛 = 1 → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑛) # 0 ↔ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘1) # 0))
32imbi2d 228 . . . 4 (𝑛 = 1 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑛) # 0) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘1) # 0)))
4 fveq2 5209 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑛) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘))
54breq1d 3803 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑛) # 0 ↔ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) # 0))
65imbi2d 228 . . . 4 (𝑛 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑛) # 0) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) # 0)))
7 fveq2 5209 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑛) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘(𝑘 + 1)))
87breq1d 3803 . . . . 5 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑛) # 0 ↔ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘(𝑘 + 1)) # 0))
98imbi2d 228 . . . 4 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑛) # 0) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘(𝑘 + 1)) # 0)))
10 fveq2 5209 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑛) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑁))
1110breq1d 3803 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑛) # 0 ↔ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑁) # 0))
1211imbi2d 228 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑛) # 0) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑁) # 0)))
13 simpr 108 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → 𝐴 # 0)
14 1zzd 8459 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → 1 ∈ ℤ)
15 elnnuz 8736 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℕ ↔ 𝑥 ∈ (ℤ‘1))
16 fvconst2g 5407 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
1715, 16sylan2br 282 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘1)) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
1817adantlr 461 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘1)) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
19 simpll 496 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2018, 19eqeltrd 2156 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘1)) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) ∈ ℂ)
21 mulcl 7162 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
2221adantl 271 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
2314, 20, 22iseq1 9533 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘1) = ((ℕ × {𝐴})‘1))
24 1nn 8117 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
25 fvconst2g 5407 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘1) = 𝐴)
2624, 25mpan2 416 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℕ × {𝐴})‘1) = 𝐴)
2726adantr 270 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ((ℕ × {𝐴})‘1) = 𝐴)
2823, 27eqtrd 2114 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘1) = 𝐴)
2928breq1d 3803 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘1) # 0 ↔ 𝐴 # 0))
3013, 29mpbird 165 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘1) # 0)
31 simpl 107 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) → 𝑘 ∈ ℕ)
32 elnnuz 8736 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
3331, 32sylib 120 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
3433adantr 270 . . . . . . . . 9 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) # 0) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
3520adantll 460 . . . . . . . . . 10 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘1)) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) ∈ ℂ)
3635adantlr 461 . . . . . . . . 9 ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) # 0) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘1)) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) ∈ ℂ)
3721adantl 271 . . . . . . . . 9 ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3834, 36, 37iseqcl 9537 . . . . . . . 8 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) ∈ ℂ)
39 simplrl 502 . . . . . . . 8 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) # 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
40 simpr 108 . . . . . . . 8 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) # 0)
41 simplrr 503 . . . . . . . 8 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) # 0) → 𝐴 # 0)
4238, 39, 40, 41mulap0d 7815 . . . . . . 7 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) # 0) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) · 𝐴) # 0)
4321adantl 271 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
4433, 35, 43iseqp1 9538 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1))))
45 simprl 498 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4631peano2nnd 8121 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
47 fvconst2g 5407 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1)) = 𝐴)
4845, 46, 47syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1)) = 𝐴)
4948oveq2d 5559 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1))) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) · 𝐴))
5044, 49eqtrd 2114 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) · 𝐴))
5150breq1d 3803 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘(𝑘 + 1)) # 0 ↔ ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) · 𝐴) # 0))
5251adantr 270 . . . . . . 7 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) # 0) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘(𝑘 + 1)) # 0 ↔ ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) · 𝐴) # 0))
5342, 52mpbird 165 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘(𝑘 + 1)) # 0)
5453exp31 356 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) # 0 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘(𝑘 + 1)) # 0)))
5554a2d 26 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) # 0) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘(𝑘 + 1)) # 0)))
563, 6, 9, 12, 30, 55nnind 8122 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑁) # 0))
5756impcom 123 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑁) # 0)
58573impa 1134 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑁) # 0)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∧ w3a 920   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  {csn 3406   class class class wbr 3793   × cxp 4369  ‘cfv 4932  (class class class)co 5543  ℂcc 7041  0cc0 7043  1c1 7044   + caddc 7046   · cmul 7048   # cap 7748  ℕcn 8106  ℤ≥cuz 8700  seqcseq 9521 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155  ax-pre-mulext 7156 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-ilim 4132  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-frec 6040  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-iseq 9522 This theorem is referenced by:  expival  9575
 Copyright terms: Public domain W3C validator