Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expmulzap GIF version

Theorem expmulzap 8955
 Description: Product of exponents law for integer exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
expmulzap (((A A # 0) (𝑀 𝑁 ℤ)) → (A↑(𝑀 · 𝑁)) = ((A𝑀)↑𝑁))

Proof of Theorem expmulzap
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 8035 . . 3 (𝑁 ℤ ↔ (𝑁 0 (𝑁 -𝑁 ℕ)))
2 elznn0nn 8035 . . . 4 (𝑀 ℤ ↔ (𝑀 0 (𝑀 -𝑀 ℕ)))
3 expmul 8954 . . . . . . . 8 ((A 𝑀 0 𝑁 0) → (A↑(𝑀 · 𝑁)) = ((A𝑀)↑𝑁))
433expia 1105 . . . . . . 7 ((A 𝑀 0) → (𝑁 0 → (A↑(𝑀 · 𝑁)) = ((A𝑀)↑𝑁)))
54adantlr 446 . . . . . 6 (((A A # 0) 𝑀 0) → (𝑁 0 → (A↑(𝑀 · 𝑁)) = ((A𝑀)↑𝑁)))
6 simp2l 929 . . . . . . . . . . . . . 14 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → 𝑀 ℝ)
76recnd 6851 . . . . . . . . . . . . 13 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → 𝑀 ℂ)
8 simp3 905 . . . . . . . . . . . . . 14 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → 𝑁 0)
98nn0cnd 8013 . . . . . . . . . . . . 13 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → 𝑁 ℂ)
107, 9mulneg1d 7204 . . . . . . . . . . . 12 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → (-𝑀 · 𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
1110oveq2d 5471 . . . . . . . . . . 11 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → (A↑(-𝑀 · 𝑁)) = (A↑-(𝑀 · 𝑁)))
12 simp1l 927 . . . . . . . . . . . 12 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → A ℂ)
13 simp2r 930 . . . . . . . . . . . . 13 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → -𝑀 ℕ)
1413nnnn0d 8011 . . . . . . . . . . . 12 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → -𝑀 0)
15 expmul 8954 . . . . . . . . . . . 12 ((A -𝑀 0 𝑁 0) → (A↑(-𝑀 · 𝑁)) = ((A↑-𝑀)↑𝑁))
1612, 14, 8, 15syl3anc 1134 . . . . . . . . . . 11 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → (A↑(-𝑀 · 𝑁)) = ((A↑-𝑀)↑𝑁))
1711, 16eqtr3d 2071 . . . . . . . . . 10 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → (A↑-(𝑀 · 𝑁)) = ((A↑-𝑀)↑𝑁))
1817oveq2d 5471 . . . . . . . . 9 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → (1 / (A↑-(𝑀 · 𝑁))) = (1 / ((A↑-𝑀)↑𝑁)))
19 expcl 8927 . . . . . . . . . . 11 ((A -𝑀 0) → (A↑-𝑀) ℂ)
2012, 14, 19syl2anc 391 . . . . . . . . . 10 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → (A↑-𝑀) ℂ)
21 simp1r 928 . . . . . . . . . . 11 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → A # 0)
2213nnzd 8135 . . . . . . . . . . 11 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → -𝑀 ℤ)
23 expap0i 8941 . . . . . . . . . . 11 ((A A # 0 -𝑀 ℤ) → (A↑-𝑀) # 0)
2412, 21, 22, 23syl3anc 1134 . . . . . . . . . 10 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → (A↑-𝑀) # 0)
258nn0zd 8134 . . . . . . . . . 10 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → 𝑁 ℤ)
26 exprecap 8950 . . . . . . . . . 10 (((A↑-𝑀) (A↑-𝑀) # 0 𝑁 ℤ) → ((1 / (A↑-𝑀))↑𝑁) = (1 / ((A↑-𝑀)↑𝑁)))
2720, 24, 25, 26syl3anc 1134 . . . . . . . . 9 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → ((1 / (A↑-𝑀))↑𝑁) = (1 / ((A↑-𝑀)↑𝑁)))
2818, 27eqtr4d 2072 . . . . . . . 8 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → (1 / (A↑-(𝑀 · 𝑁))) = ((1 / (A↑-𝑀))↑𝑁))
297, 9mulcld 6845 . . . . . . . . 9 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → (𝑀 · 𝑁) ℂ)
3014, 8nn0mulcld 8016 . . . . . . . . . 10 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → (-𝑀 · 𝑁) 0)
3110, 30eqeltrrd 2112 . . . . . . . . 9 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → -(𝑀 · 𝑁) 0)
32 expineg2 8918 . . . . . . . . 9 (((A A # 0) ((𝑀 · 𝑁) -(𝑀 · 𝑁) 0)) → (A↑(𝑀 · 𝑁)) = (1 / (A↑-(𝑀 · 𝑁))))
3312, 21, 29, 31, 32syl22anc 1135 . . . . . . . 8 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → (A↑(𝑀 · 𝑁)) = (1 / (A↑-(𝑀 · 𝑁))))
34 expineg2 8918 . . . . . . . . . 10 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 0)) → (A𝑀) = (1 / (A↑-𝑀)))
3512, 21, 7, 14, 34syl22anc 1135 . . . . . . . . 9 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → (A𝑀) = (1 / (A↑-𝑀)))
3635oveq1d 5470 . . . . . . . 8 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → ((A𝑀)↑𝑁) = ((1 / (A↑-𝑀))↑𝑁))
3728, 33, 363eqtr4d 2079 . . . . . . 7 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → (A↑(𝑀 · 𝑁)) = ((A𝑀)↑𝑁))
38373expia 1105 . . . . . 6 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ)) → (𝑁 0 → (A↑(𝑀 · 𝑁)) = ((A𝑀)↑𝑁)))
395, 38jaodan 709 . . . . 5 (((A A # 0) (𝑀 0 (𝑀 -𝑀 ℕ))) → (𝑁 0 → (A↑(𝑀 · 𝑁)) = ((A𝑀)↑𝑁)))
40 simp2 904 . . . . . . . . . . . . 13 (((A A # 0) 𝑀 0 (𝑁 -𝑁 ℕ)) → 𝑀 0)
4140nn0cnd 8013 . . . . . . . . . . . 12 (((A A # 0) 𝑀 0 (𝑁 -𝑁 ℕ)) → 𝑀 ℂ)
42 simp3l 931 . . . . . . . . . . . . 13 (((A A # 0) 𝑀 0 (𝑁 -𝑁 ℕ)) → 𝑁 ℝ)
4342recnd 6851 . . . . . . . . . . . 12 (((A A # 0) 𝑀 0 (𝑁 -𝑁 ℕ)) → 𝑁 ℂ)
4441, 43mulneg2d 7205 . . . . . . . . . . 11 (((A A # 0) 𝑀 0 (𝑁 -𝑁 ℕ)) → (𝑀 · -𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
4544oveq2d 5471 . . . . . . . . . 10 (((A A # 0) 𝑀 0 (𝑁 -𝑁 ℕ)) → (A↑(𝑀 · -𝑁)) = (A↑-(𝑀 · 𝑁)))
46 simp1l 927 . . . . . . . . . . 11 (((A A # 0) 𝑀 0 (𝑁 -𝑁 ℕ)) → A ℂ)
47 simp3r 932 . . . . . . . . . . . 12 (((A A # 0) 𝑀 0 (𝑁 -𝑁 ℕ)) → -𝑁 ℕ)
4847nnnn0d 8011 . . . . . . . . . . 11 (((A A # 0) 𝑀 0 (𝑁 -𝑁 ℕ)) → -𝑁 0)
49 expmul 8954 . . . . . . . . . . 11 ((A 𝑀 0 -𝑁 0) → (A↑(𝑀 · -𝑁)) = ((A𝑀)↑-𝑁))
5046, 40, 48, 49syl3anc 1134 . . . . . . . . . 10 (((A A # 0) 𝑀 0 (𝑁 -𝑁 ℕ)) → (A↑(𝑀 · -𝑁)) = ((A𝑀)↑-𝑁))
5145, 50eqtr3d 2071 . . . . . . . . 9 (((A A # 0) 𝑀 0 (𝑁 -𝑁 ℕ)) → (A↑-(𝑀 · 𝑁)) = ((A𝑀)↑-𝑁))
5251oveq2d 5471 . . . . . . . 8 (((A A # 0) 𝑀 0 (𝑁 -𝑁 ℕ)) → (1 / (A↑-(𝑀 · 𝑁))) = (1 / ((A𝑀)↑-𝑁)))
53 simp1r 928 . . . . . . . . 9 (((A A # 0) 𝑀 0 (𝑁 -𝑁 ℕ)) → A # 0)
5441, 43mulcld 6845 . . . . . . . . 9 (((A A # 0) 𝑀 0 (𝑁 -𝑁 ℕ)) → (𝑀 · 𝑁) ℂ)
5540, 48nn0mulcld 8016 . . . . . . . . . 10 (((A A # 0) 𝑀 0 (𝑁 -𝑁 ℕ)) → (𝑀 · -𝑁) 0)
5644, 55eqeltrrd 2112 . . . . . . . . 9 (((A A # 0) 𝑀 0 (𝑁 -𝑁 ℕ)) → -(𝑀 · 𝑁) 0)
5746, 53, 54, 56, 32syl22anc 1135 . . . . . . . 8 (((A A # 0) 𝑀 0 (𝑁 -𝑁 ℕ)) → (A↑(𝑀 · 𝑁)) = (1 / (A↑-(𝑀 · 𝑁))))
58 expcl 8927 . . . . . . . . . 10 ((A 𝑀 0) → (A𝑀) ℂ)
5946, 40, 58syl2anc 391 . . . . . . . . 9 (((A A # 0) 𝑀 0 (𝑁 -𝑁 ℕ)) → (A𝑀) ℂ)
6040nn0zd 8134 . . . . . . . . . 10 (((A A # 0) 𝑀 0 (𝑁 -𝑁 ℕ)) → 𝑀 ℤ)
61 expap0i 8941 . . . . . . . . . 10 ((A A # 0 𝑀 ℤ) → (A𝑀) # 0)
6246, 53, 60, 61syl3anc 1134 . . . . . . . . 9 (((A A # 0) 𝑀 0 (𝑁 -𝑁 ℕ)) → (A𝑀) # 0)
63 expineg2 8918 . . . . . . . . 9 ((((A𝑀) (A𝑀) # 0) (𝑁 -𝑁 0)) → ((A𝑀)↑𝑁) = (1 / ((A𝑀)↑-𝑁)))
6459, 62, 43, 48, 63syl22anc 1135 . . . . . . . 8 (((A A # 0) 𝑀 0 (𝑁 -𝑁 ℕ)) → ((A𝑀)↑𝑁) = (1 / ((A𝑀)↑-𝑁)))
6552, 57, 643eqtr4d 2079 . . . . . . 7 (((A A # 0) 𝑀 0 (𝑁 -𝑁 ℕ)) → (A↑(𝑀 · 𝑁)) = ((A𝑀)↑𝑁))
66653expia 1105 . . . . . 6 (((A A # 0) 𝑀 0) → ((𝑁 -𝑁 ℕ) → (A↑(𝑀 · 𝑁)) = ((A𝑀)↑𝑁)))
67 simp1l 927 . . . . . . . . . 10 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → A ℂ)
68 simp1r 928 . . . . . . . . . 10 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → A # 0)
69 simp2l 929 . . . . . . . . . . 11 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → 𝑀 ℝ)
7069recnd 6851 . . . . . . . . . 10 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → 𝑀 ℂ)
71 simp2r 930 . . . . . . . . . . 11 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → -𝑀 ℕ)
7271nnnn0d 8011 . . . . . . . . . 10 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → -𝑀 0)
7367, 68, 70, 72, 34syl22anc 1135 . . . . . . . . 9 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → (A𝑀) = (1 / (A↑-𝑀)))
7473oveq1d 5470 . . . . . . . 8 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → ((A𝑀)↑𝑁) = ((1 / (A↑-𝑀))↑𝑁))
7567, 72, 19syl2anc 391 . . . . . . . . . 10 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → (A↑-𝑀) ℂ)
7671nnzd 8135 . . . . . . . . . . 11 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → -𝑀 ℤ)
7767, 68, 76, 23syl3anc 1134 . . . . . . . . . 10 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → (A↑-𝑀) # 0)
7875, 77recclapd 7539 . . . . . . . . 9 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → (1 / (A↑-𝑀)) ℂ)
7975, 77recap0d 7540 . . . . . . . . 9 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → (1 / (A↑-𝑀)) # 0)
80 simp3l 931 . . . . . . . . . 10 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → 𝑁 ℝ)
8180recnd 6851 . . . . . . . . 9 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → 𝑁 ℂ)
82 simp3r 932 . . . . . . . . . 10 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → -𝑁 ℕ)
8382nnnn0d 8011 . . . . . . . . 9 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → -𝑁 0)
84 expineg2 8918 . . . . . . . . 9 ((((1 / (A↑-𝑀)) (1 / (A↑-𝑀)) # 0) (𝑁 -𝑁 0)) → ((1 / (A↑-𝑀))↑𝑁) = (1 / ((1 / (A↑-𝑀))↑-𝑁)))
8578, 79, 81, 83, 84syl22anc 1135 . . . . . . . 8 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → ((1 / (A↑-𝑀))↑𝑁) = (1 / ((1 / (A↑-𝑀))↑-𝑁)))
8682nnzd 8135 . . . . . . . . . . 11 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → -𝑁 ℤ)
87 exprecap 8950 . . . . . . . . . . 11 (((A↑-𝑀) (A↑-𝑀) # 0 -𝑁 ℤ) → ((1 / (A↑-𝑀))↑-𝑁) = (1 / ((A↑-𝑀)↑-𝑁)))
8875, 77, 86, 87syl3anc 1134 . . . . . . . . . 10 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → ((1 / (A↑-𝑀))↑-𝑁) = (1 / ((A↑-𝑀)↑-𝑁)))
8988oveq2d 5471 . . . . . . . . 9 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → (1 / ((1 / (A↑-𝑀))↑-𝑁)) = (1 / (1 / ((A↑-𝑀)↑-𝑁))))
90 expcl 8927 . . . . . . . . . . 11 (((A↑-𝑀) -𝑁 0) → ((A↑-𝑀)↑-𝑁) ℂ)
9175, 83, 90syl2anc 391 . . . . . . . . . 10 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → ((A↑-𝑀)↑-𝑁) ℂ)
92 expap0i 8941 . . . . . . . . . . 11 (((A↑-𝑀) (A↑-𝑀) # 0 -𝑁 ℤ) → ((A↑-𝑀)↑-𝑁) # 0)
9375, 77, 86, 92syl3anc 1134 . . . . . . . . . 10 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → ((A↑-𝑀)↑-𝑁) # 0)
9491, 93recrecapd 7543 . . . . . . . . 9 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → (1 / (1 / ((A↑-𝑀)↑-𝑁))) = ((A↑-𝑀)↑-𝑁))
95 expmul 8954 . . . . . . . . . . 11 ((A -𝑀 0 -𝑁 0) → (A↑(-𝑀 · -𝑁)) = ((A↑-𝑀)↑-𝑁))
9667, 72, 83, 95syl3anc 1134 . . . . . . . . . 10 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → (A↑(-𝑀 · -𝑁)) = ((A↑-𝑀)↑-𝑁))
9770, 81mul2negd 7206 . . . . . . . . . . 11 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → (-𝑀 · -𝑁) = (𝑀 · 𝑁))
9897oveq2d 5471 . . . . . . . . . 10 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → (A↑(-𝑀 · -𝑁)) = (A↑(𝑀 · 𝑁)))
9996, 98eqtr3d 2071 . . . . . . . . 9 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → ((A↑-𝑀)↑-𝑁) = (A↑(𝑀 · 𝑁)))
10089, 94, 993eqtrd 2073 . . . . . . . 8 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → (1 / ((1 / (A↑-𝑀))↑-𝑁)) = (A↑(𝑀 · 𝑁)))
10174, 85, 1003eqtrrd 2074 . . . . . . 7 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → (A↑(𝑀 · 𝑁)) = ((A𝑀)↑𝑁))
1021013expia 1105 . . . . . 6 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ)) → ((𝑁 -𝑁 ℕ) → (A↑(𝑀 · 𝑁)) = ((A𝑀)↑𝑁)))
10366, 102jaodan 709 . . . . 5 (((A A # 0) (𝑀 0 (𝑀 -𝑀 ℕ))) → ((𝑁 -𝑁 ℕ) → (A↑(𝑀 · 𝑁)) = ((A𝑀)↑𝑁)))
10439, 103jaod 636 . . . 4 (((A A # 0) (𝑀 0 (𝑀 -𝑀 ℕ))) → ((𝑁 0 (𝑁 -𝑁 ℕ)) → (A↑(𝑀 · 𝑁)) = ((A𝑀)↑𝑁)))
1052, 104sylan2b 271 . . 3 (((A A # 0) 𝑀 ℤ) → ((𝑁 0 (𝑁 -𝑁 ℕ)) → (A↑(𝑀 · 𝑁)) = ((A𝑀)↑𝑁)))
1061, 105syl5bi 141 . 2 (((A A # 0) 𝑀 ℤ) → (𝑁 ℤ → (A↑(𝑀 · 𝑁)) = ((A𝑀)↑𝑁)))
107106impr 361 1 (((A A # 0) (𝑀 𝑁 ℤ)) → (A↑(𝑀 · 𝑁)) = ((A𝑀)↑𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∨ wo 628   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℂcc 6709  ℝcr 6710  0cc0 6711  1c1 6712   · cmul 6716  -cneg 6980   # cap 7365   / cdiv 7433  ℕcn 7695  ℕ0cn0 7957  ℤcz 8021  ↑cexp 8908 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-iseq 8893  df-iexp 8909 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator