Theorem expnegap0 8917

Description: Value of a complex number raised to a negative integer power. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
expnegap0	⊢ ((A ∈ ℂ ∧ A # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (A↑-𝑁) = (1 / (A↑𝑁)))

Proof of Theorem expnegap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 7959	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nnne0 7723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
3	2	adantl 262	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
4		nncn 7703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
5	4	adantl 262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
6	5	negeq0d 7110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 = 0 ↔ -𝑁 = 0))
7	6	necon3abid 2238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ -𝑁 = 0))
8	3, 7	mpbid 135	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ -𝑁 = 0)
9	8	iffalsed 3335	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘--𝑁)))) = if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘--𝑁))))
10		nnnn0 7964	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
11	10	adantl 262	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
12		nn0nlt0 7984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑁 < 0)
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 𝑁 < 0)
14	11	nn0red 8012	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
15	14	lt0neg1d 7302	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 < 0 ↔ 0 < -𝑁))
16	13, 15	mtbid 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 0 < -𝑁)
17	16	iffalsed 3335	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘--𝑁))) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘--𝑁)))
18	5	negnegd 7109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → --𝑁 = 𝑁)
19	18	fveq2d 5125	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘--𝑁) = (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑁))
20	19	oveq2d 5471	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘--𝑁)) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑁)))
21	9, 17, 20	3eqtrd 2073	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘--𝑁)))) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑁)))
22	21	adantlr 446	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘--𝑁)))) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑁)))
23		simp1 903	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ A # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → A ∈ ℂ)
24		simp3 905	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ A # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
25	24	nnzd 8135	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ A # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
26	25	znegcld 8138	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ A # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
27		simp2 904	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ A # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → A # 0)
28	27	orcd 651	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ A # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (A # 0 ∨ 0 ≤ -𝑁))
29		expival 8911	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ (A # 0 ∨ 0 ≤ -𝑁)) → (A↑-𝑁) = if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘--𝑁)))))
30	23, 26, 28, 29	syl3anc 1134	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ A # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (A↑-𝑁) = if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘--𝑁)))))
31	30	3expa 1103	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (A↑-𝑁) = if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘--𝑁)))))
32		expinnval 8912	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (A↑𝑁) = (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑁))
33	32	oveq2d 5471	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (A↑𝑁)) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑁)))
34	33	adantlr 446	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (A↑𝑁)) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑁)))
35	22, 31, 34	3eqtr4d 2079	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (A↑-𝑁) = (1 / (A↑𝑁)))
36		1div1e1 7463	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 1) = 1
37	36	eqcomi 2041	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1 / 1)
38		negeq 7001	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
39		neg0 7053	. . . . . . . . 9 ⊢ -0 = 0
40	38, 39	syl6eq 2085	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
41	40	oveq2d 5471	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (A↑-𝑁) = (A↑0))
42		exp0 8913	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ ℂ → (A↑0) = 1)
43	41, 42	sylan9eqr 2091	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (A↑-𝑁) = 1)
44		oveq2 5463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (A↑𝑁) = (A↑0))
45	44, 42	sylan9eqr 2091	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (A↑𝑁) = 1)
46	45	oveq2d 5471	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (1 / (A↑𝑁)) = (1 / 1))
47	37, 43, 46	3eqtr4a 2095	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (A↑-𝑁) = (1 / (A↑𝑁)))
48	47	adantlr 446	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ 𝑁 = 0) → (A↑-𝑁) = (1 / (A↑𝑁)))
49	35, 48	jaodan 709	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (A↑-𝑁) = (1 / (A↑𝑁)))
50	1, 49	sylan2b 271	. 2 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (A↑-𝑁) = (1 / (A↑𝑁)))
51	50	3impa 1098	1 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ A # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (A↑-𝑁) = (1 / (A↑𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ∨ wo 628   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   ≠ wne 2201  ifcif 3325  {csn 3367   class class class wbr 3755   × cxp 4286  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455  ℂcc 6709  0cc0 6711  1c1 6712   · cmul 6716   < clt 6857   ≤ cle 6858  -cneg 6980   # cap 7365   / cdiv 7433  ℕcn 7695  ℕ₀cn0 7957  ℤcz 8021  seqcseq 8892  ↑cexp 8908

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-iseq 8893  df-iexp 8909

This theorem is referenced by:  expineg2  8918  expn1ap0  8919  expnegzap  8943