Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expnegap0 GIF version

Theorem expnegap0 8917
 Description: Value of a complex number raised to a negative integer power. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
expnegap0 ((A A # 0 𝑁 0) → (A↑-𝑁) = (1 / (A𝑁)))

Proof of Theorem expnegap0
StepHypRef Expression
1 elnn0 7959 . . 3 (𝑁 0 ↔ (𝑁 𝑁 = 0))
2 nnne0 7723 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ℕ → 𝑁 ≠ 0)
32adantl 262 . . . . . . . . 9 ((A 𝑁 ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
4 nncn 7703 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ℕ → 𝑁 ℂ)
54adantl 262 . . . . . . . . . . 11 ((A 𝑁 ℕ) → 𝑁 ℂ)
65negeq0d 7110 . . . . . . . . . 10 ((A 𝑁 ℕ) → (𝑁 = 0 ↔ -𝑁 = 0))
76necon3abid 2238 . . . . . . . . 9 ((A 𝑁 ℕ) → (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ -𝑁 = 0))
83, 7mpbid 135 . . . . . . . 8 ((A 𝑁 ℕ) → ¬ -𝑁 = 0)
98iffalsed 3335 . . . . . . 7 ((A 𝑁 ℕ) → if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘--𝑁)))) = if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘--𝑁))))
10 nnnn0 7964 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ℕ → 𝑁 0)
1110adantl 262 . . . . . . . . . 10 ((A 𝑁 ℕ) → 𝑁 0)
12 nn0nlt0 7984 . . . . . . . . . 10 (𝑁 0 → ¬ 𝑁 < 0)
1311, 12syl 14 . . . . . . . . 9 ((A 𝑁 ℕ) → ¬ 𝑁 < 0)
1411nn0red 8012 . . . . . . . . . 10 ((A 𝑁 ℕ) → 𝑁 ℝ)
1514lt0neg1d 7302 . . . . . . . . 9 ((A 𝑁 ℕ) → (𝑁 < 0 ↔ 0 < -𝑁))
1613, 15mtbid 596 . . . . . . . 8 ((A 𝑁 ℕ) → ¬ 0 < -𝑁)
1716iffalsed 3335 . . . . . . 7 ((A 𝑁 ℕ) → if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘--𝑁))) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘--𝑁)))
185negnegd 7109 . . . . . . . . 9 ((A 𝑁 ℕ) → --𝑁 = 𝑁)
1918fveq2d 5125 . . . . . . . 8 ((A 𝑁 ℕ) → (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘--𝑁) = (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑁))
2019oveq2d 5471 . . . . . . 7 ((A 𝑁 ℕ) → (1 / (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘--𝑁)) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑁)))
219, 17, 203eqtrd 2073 . . . . . 6 ((A 𝑁 ℕ) → if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘--𝑁)))) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑁)))
2221adantlr 446 . . . . 5 (((A A # 0) 𝑁 ℕ) → if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘--𝑁)))) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑁)))
23 simp1 903 . . . . . . 7 ((A A # 0 𝑁 ℕ) → A ℂ)
24 simp3 905 . . . . . . . . 9 ((A A # 0 𝑁 ℕ) → 𝑁 ℕ)
2524nnzd 8135 . . . . . . . 8 ((A A # 0 𝑁 ℕ) → 𝑁 ℤ)
2625znegcld 8138 . . . . . . 7 ((A A # 0 𝑁 ℕ) → -𝑁 ℤ)
27 simp2 904 . . . . . . . 8 ((A A # 0 𝑁 ℕ) → A # 0)
2827orcd 651 . . . . . . 7 ((A A # 0 𝑁 ℕ) → (A # 0 0 ≤ -𝑁))
29 expival 8911 . . . . . . 7 ((A -𝑁 (A # 0 0 ≤ -𝑁)) → (A↑-𝑁) = if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘--𝑁)))))
3023, 26, 28, 29syl3anc 1134 . . . . . 6 ((A A # 0 𝑁 ℕ) → (A↑-𝑁) = if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘--𝑁)))))
31303expa 1103 . . . . 5 (((A A # 0) 𝑁 ℕ) → (A↑-𝑁) = if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘--𝑁)))))
32 expinnval 8912 . . . . . . 7 ((A 𝑁 ℕ) → (A𝑁) = (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑁))
3332oveq2d 5471 . . . . . 6 ((A 𝑁 ℕ) → (1 / (A𝑁)) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑁)))
3433adantlr 446 . . . . 5 (((A A # 0) 𝑁 ℕ) → (1 / (A𝑁)) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑁)))
3522, 31, 343eqtr4d 2079 . . . 4 (((A A # 0) 𝑁 ℕ) → (A↑-𝑁) = (1 / (A𝑁)))
36 1div1e1 7463 . . . . . . 7 (1 / 1) = 1
3736eqcomi 2041 . . . . . 6 1 = (1 / 1)
38 negeq 7001 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
39 neg0 7053 . . . . . . . . 9 -0 = 0
4038, 39syl6eq 2085 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
4140oveq2d 5471 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (A↑-𝑁) = (A↑0))
42 exp0 8913 . . . . . . 7 (A ℂ → (A↑0) = 1)
4341, 42sylan9eqr 2091 . . . . . 6 ((A 𝑁 = 0) → (A↑-𝑁) = 1)
44 oveq2 5463 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (A𝑁) = (A↑0))
4544, 42sylan9eqr 2091 . . . . . . 7 ((A 𝑁 = 0) → (A𝑁) = 1)
4645oveq2d 5471 . . . . . 6 ((A 𝑁 = 0) → (1 / (A𝑁)) = (1 / 1))
4737, 43, 463eqtr4a 2095 . . . . 5 ((A 𝑁 = 0) → (A↑-𝑁) = (1 / (A𝑁)))
4847adantlr 446 . . . 4 (((A A # 0) 𝑁 = 0) → (A↑-𝑁) = (1 / (A𝑁)))
4935, 48jaodan 709 . . 3 (((A A # 0) (𝑁 𝑁 = 0)) → (A↑-𝑁) = (1 / (A𝑁)))
501, 49sylan2b 271 . 2 (((A A # 0) 𝑁 0) → (A↑-𝑁) = (1 / (A𝑁)))
51503impa 1098 1 ((A A # 0 𝑁 0) → (A↑-𝑁) = (1 / (A𝑁)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ∨ wo 628   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   ≠ wne 2201  ifcif 3325  {csn 3367   class class class wbr 3755   × cxp 4286  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455  ℂcc 6709  0cc0 6711  1c1 6712   · cmul 6716   < clt 6857   ≤ cle 6858  -cneg 6980   # cap 7365   / cdiv 7433  ℕcn 7695  ℕ0cn0 7957  ℤcz 8021  seqcseq 8892  ↑cexp 8908 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-iseq 8893  df-iexp 8909 This theorem is referenced by:  expineg2  8918  expn1ap0  8919  expnegzap  8943
 Copyright terms: Public domain W3C validator