ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f11o GIF version

Theorem f11o 5184
Description: Relationship between one-to-one and one-to-one onto function. (Contributed by NM, 4-Apr-1998.)
Hypothesis
Ref Expression
f11o.1 𝐹 ∈ V
Assertion
Ref Expression
f11o (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐹:𝐴1-1-onto𝑥𝑥𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem f11o
StepHypRef Expression
1 f11o.1 . . . 4 𝐹 ∈ V
21ffoss 5183 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐹:𝐴onto𝑥𝑥𝐵))
32anbi1i 446 . 2 ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Fun 𝐹) ↔ (∃𝑥(𝐹:𝐴onto𝑥𝑥𝐵) ∧ Fun 𝐹))
4 df-f1 4931 . 2 (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ Fun 𝐹))
5 dff1o3 5157 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1-onto𝑥 ↔ (𝐹:𝐴onto𝑥 ∧ Fun 𝐹))
65anbi1i 446 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝑥𝑥𝐵) ↔ ((𝐹:𝐴onto𝑥 ∧ Fun 𝐹) ∧ 𝑥𝐵))
7 an32 527 . . . . 5 (((𝐹:𝐴onto𝑥 ∧ Fun 𝐹) ∧ 𝑥𝐵) ↔ ((𝐹:𝐴onto𝑥𝑥𝐵) ∧ Fun 𝐹))
86, 7bitri 182 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝑥𝑥𝐵) ↔ ((𝐹:𝐴onto𝑥𝑥𝐵) ∧ Fun 𝐹))
98exbii 1537 . . 3 (∃𝑥(𝐹:𝐴1-1-onto𝑥𝑥𝐵) ↔ ∃𝑥((𝐹:𝐴onto𝑥𝑥𝐵) ∧ Fun 𝐹))
10 19.41v 1824 . . 3 (∃𝑥((𝐹:𝐴onto𝑥𝑥𝐵) ∧ Fun 𝐹) ↔ (∃𝑥(𝐹:𝐴onto𝑥𝑥𝐵) ∧ Fun 𝐹))
119, 10bitri 182 . 2 (∃𝑥(𝐹:𝐴1-1-onto𝑥𝑥𝐵) ↔ (∃𝑥(𝐹:𝐴onto𝑥𝑥𝐵) ∧ Fun 𝐹))
123, 4, 113bitr4i 210 1 (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐹:𝐴1-1-onto𝑥𝑥𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 102  wb 103  wex 1422  wcel 1434  Vcvv 2602  wss 2974  ccnv 4364  Fun wfun 4920  wf 4922  1-1wf1 4923  ontowfo 4924  1-1-ontowf1o 4925
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-rex 2355  df-v 2604  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-br 3788  df-opab 3842  df-cnv 4373  df-dm 4375  df-rn 4376  df-f 4930  df-f1 4931  df-fo 4932  df-f1o 4933
This theorem is referenced by:  domen  6291
  Copyright terms: Public domain W3C validator