ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1eq1 GIF version

Theorem f1eq1 5114
Description: Equality theorem for one-to-one functions. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.)
Assertion
Ref Expression
f1eq1 (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵))

Proof of Theorem f1eq1
StepHypRef Expression
1 feq1 5057 . . 3 (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴𝐵𝐺:𝐴𝐵))
2 cnveq 4536 . . . 4 (𝐹 = 𝐺𝐹 = 𝐺)
32funeqd 4950 . . 3 (𝐹 = 𝐺 → (Fun 𝐹 ↔ Fun 𝐺))
41, 3anbi12d 450 . 2 (𝐹 = 𝐺 → ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Fun 𝐹) ↔ (𝐺:𝐴𝐵 ∧ Fun 𝐺)))
5 df-f1 4934 . 2 (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ Fun 𝐹))
6 df-f1 4934 . 2 (𝐺:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐺:𝐴𝐵 ∧ Fun 𝐺))
74, 5, 63bitr4g 216 1 (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102   = wceq 1259  ccnv 4371  Fun wfun 4923  wf 4925  1-1wf1 4926
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-v 2576  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-br 3792  df-opab 3846  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934
This theorem is referenced by:  f1oeq1  5144  f1eq123d  5148  fun11iun  5174  fo00  5189  tposf12  5914  f1dom2g  6266  f1domg  6268  dom3d  6284  domtr  6295
  Copyright terms: Public domain W3C validator