ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1eq1 GIF version

Theorem f1eq1 5139
Description: Equality theorem for one-to-one functions. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.)
Assertion
Ref Expression
f1eq1 (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵))

Proof of Theorem f1eq1
StepHypRef Expression
1 feq1 5082 . . 3 (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴𝐵𝐺:𝐴𝐵))
2 cnveq 4558 . . . 4 (𝐹 = 𝐺𝐹 = 𝐺)
32funeqd 4974 . . 3 (𝐹 = 𝐺 → (Fun 𝐹 ↔ Fun 𝐺))
41, 3anbi12d 457 . 2 (𝐹 = 𝐺 → ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Fun 𝐹) ↔ (𝐺:𝐴𝐵 ∧ Fun 𝐺)))
5 df-f1 4958 . 2 (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ Fun 𝐹))
6 df-f1 4958 . 2 (𝐺:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐺:𝐴𝐵 ∧ Fun 𝐺))
74, 5, 63bitr4g 221 1 (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1285  ccnv 4391  Fun wfun 4947  wf 4949  1-1wf1 4950
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-v 2613  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-br 3807  df-opab 3861  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958
This theorem is referenced by:  f1oeq1  5170  f1eq123d  5174  fun11iun  5200  fo00  5215  tposf12  5940  f1dom2g  6326  f1domg  6328  dom3d  6344  domtr  6355
  Copyright terms: Public domain W3C validator