ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1ocnvfvb GIF version

Theorem f1ocnvfvb 5447
Description: Relationship between the value of a one-to-one onto function and the value of its converse. (Contributed by NM, 20-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1ocnvfvb ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴𝐷𝐵) → ((𝐹𝐶) = 𝐷 ↔ (𝐹𝐷) = 𝐶))

Proof of Theorem f1ocnvfvb
StepHypRef Expression
1 f1ocnvfv 5446 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → ((𝐹𝐶) = 𝐷 → (𝐹𝐷) = 𝐶))
213adant3 935 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴𝐷𝐵) → ((𝐹𝐶) = 𝐷 → (𝐹𝐷) = 𝐶))
3 fveq2 5205 . . . . 5 (𝐶 = (𝐹𝐷) → (𝐹𝐶) = (𝐹‘(𝐹𝐷)))
43eqcoms 2059 . . . 4 ((𝐹𝐷) = 𝐶 → (𝐹𝐶) = (𝐹‘(𝐹𝐷)))
5 f1ocnvfv2 5445 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐷𝐵) → (𝐹‘(𝐹𝐷)) = 𝐷)
65eqeq2d 2067 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐷𝐵) → ((𝐹𝐶) = (𝐹‘(𝐹𝐷)) ↔ (𝐹𝐶) = 𝐷))
74, 6syl5ib 147 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐷𝐵) → ((𝐹𝐷) = 𝐶 → (𝐹𝐶) = 𝐷))
873adant2 934 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴𝐷𝐵) → ((𝐹𝐷) = 𝐶 → (𝐹𝐶) = 𝐷))
92, 8impbid 124 1 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴𝐷𝐵) → ((𝐹𝐶) = 𝐷 ↔ (𝐹𝐷) = 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  w3a 896   = wceq 1259  wcel 1409  ccnv 4371  1-1-ontowf1o 4928  cfv 4929
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-sbc 2787  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-opab 3846  df-id 4057  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937
This theorem is referenced by:  f1ofveu  5527  f1ocnvfv3  5528
  Copyright terms: Public domain W3C validator