ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1ofveu GIF version

Theorem f1ofveu 5525
Description: There is one domain element for each value of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 26-May-2006.)
Assertion
Ref Expression
f1ofveu ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → ∃!𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹

Proof of Theorem f1ofveu
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 5164 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
2 f1of 5151 . . . 4 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐴𝐹:𝐵𝐴)
31, 2syl 14 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐵𝐴)
4 feu 5097 . . 3 ((𝐹:𝐵𝐴𝐶𝐵) → ∃!𝑥𝐴𝐶, 𝑥⟩ ∈ 𝐹)
53, 4sylan 271 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → ∃!𝑥𝐴𝐶, 𝑥⟩ ∈ 𝐹)
6 f1ocnvfvb 5445 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑥𝐴𝐶𝐵) → ((𝐹𝑥) = 𝐶 ↔ (𝐹𝐶) = 𝑥))
763com23 1119 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) = 𝐶 ↔ (𝐹𝐶) = 𝑥))
8 dff1o4 5159 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴𝐹 Fn 𝐵))
98simprbi 264 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹 Fn 𝐵)
10 fnopfvb 5240 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝐵𝐶𝐵) → ((𝐹𝐶) = 𝑥 ↔ ⟨𝐶, 𝑥⟩ ∈ 𝐹))
11103adant3 933 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐵𝐶𝐵𝑥𝐴) → ((𝐹𝐶) = 𝑥 ↔ ⟨𝐶, 𝑥⟩ ∈ 𝐹))
129, 11syl3an1 1177 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵𝑥𝐴) → ((𝐹𝐶) = 𝑥 ↔ ⟨𝐶, 𝑥⟩ ∈ 𝐹))
137, 12bitrd 181 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) = 𝐶 ↔ ⟨𝐶, 𝑥⟩ ∈ 𝐹))
14133expa 1113 . . 3 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) = 𝐶 ↔ ⟨𝐶, 𝑥⟩ ∈ 𝐹))
1514reubidva 2507 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → (∃!𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝐶 ↔ ∃!𝑥𝐴𝐶, 𝑥⟩ ∈ 𝐹))
165, 15mpbird 160 1 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → ∃!𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  w3a 894   = wceq 1257  wcel 1407  ∃!wreu 2323  cop 3403  ccnv 4369   Fn wfn 4922  wf 4923  1-1-ontowf1o 4926  cfv 4927
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-sep 3900  ax-pow 3952  ax-pr 3969
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 896  df-tru 1260  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ral 2326  df-rex 2327  df-reu 2328  df-v 2574  df-sbc 2785  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-br 3790  df-opab 3844  df-id 4055  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-rn 4381  df-res 4382  df-ima 4383  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fn 4930  df-f 4931  df-f1 4932  df-fo 4933  df-f1o 4934  df-fv 4935
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator