ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1ofveu GIF version

Theorem f1ofveu 5531
Description: There is one domain element for each value of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 26-May-2006.)
Assertion
Ref Expression
f1ofveu ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → ∃!𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹

Proof of Theorem f1ofveu
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 5170 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
2 f1of 5157 . . . 4 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐴𝐹:𝐵𝐴)
31, 2syl 14 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐵𝐴)
4 feu 5103 . . 3 ((𝐹:𝐵𝐴𝐶𝐵) → ∃!𝑥𝐴𝐶, 𝑥⟩ ∈ 𝐹)
53, 4sylan 277 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → ∃!𝑥𝐴𝐶, 𝑥⟩ ∈ 𝐹)
6 f1ocnvfvb 5451 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑥𝐴𝐶𝐵) → ((𝐹𝑥) = 𝐶 ↔ (𝐹𝐶) = 𝑥))
763com23 1145 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) = 𝐶 ↔ (𝐹𝐶) = 𝑥))
8 dff1o4 5165 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴𝐹 Fn 𝐵))
98simprbi 269 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹 Fn 𝐵)
10 fnopfvb 5247 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝐵𝐶𝐵) → ((𝐹𝐶) = 𝑥 ↔ ⟨𝐶, 𝑥⟩ ∈ 𝐹))
11103adant3 959 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐵𝐶𝐵𝑥𝐴) → ((𝐹𝐶) = 𝑥 ↔ ⟨𝐶, 𝑥⟩ ∈ 𝐹))
129, 11syl3an1 1203 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵𝑥𝐴) → ((𝐹𝐶) = 𝑥 ↔ ⟨𝐶, 𝑥⟩ ∈ 𝐹))
137, 12bitrd 186 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) = 𝐶 ↔ ⟨𝐶, 𝑥⟩ ∈ 𝐹))
14133expa 1139 . . 3 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) = 𝐶 ↔ ⟨𝐶, 𝑥⟩ ∈ 𝐹))
1514reubidva 2537 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → (∃!𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝐶 ↔ ∃!𝑥𝐴𝐶, 𝑥⟩ ∈ 𝐹))
165, 15mpbird 165 1 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → ∃!𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434  ∃!wreu 2351  cop 3409  ccnv 4370   Fn wfn 4927  wf 4928  1-1-ontowf1o 4931  cfv 4932
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-v 2604  df-sbc 2817  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator