ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1opw2 GIF version

Theorem f1opw2 5759
Description: A one-to-one mapping induces a one-to-one mapping on power sets. This version of f1opw 5760 avoids the Axiom of Replacement. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
f1opw2.1 (𝜑𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
f1opw2.2 (𝜑 → (𝐹𝑎) ∈ V)
f1opw2.3 (𝜑 → (𝐹𝑏) ∈ V)
Assertion
Ref Expression
f1opw2 (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐹𝑏)):𝒫 𝐴1-1-onto→𝒫 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐴   𝐵,𝑎,𝑏   𝐹,𝑎,𝑏   𝜑,𝑎,𝑏

Proof of Theorem f1opw2
StepHypRef Expression
1 eqid 2083 . 2 (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐹𝑏)) = (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐹𝑏))
2 imassrn 4730 . . . . 5 (𝐹𝑏) ⊆ ran 𝐹
3 f1opw2.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
4 f1ofo 5186 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴onto𝐵)
53, 4syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐴onto𝐵)
6 forn 5162 . . . . . 6 (𝐹:𝐴onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
75, 6syl 14 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
82, 7syl5sseq 3057 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑏) ⊆ 𝐵)
9 f1opw2.3 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑏) ∈ V)
10 elpwg 3409 . . . . 5 ((𝐹𝑏) ∈ V → ((𝐹𝑏) ∈ 𝒫 𝐵 ↔ (𝐹𝑏) ⊆ 𝐵))
119, 10syl 14 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝑏) ∈ 𝒫 𝐵 ↔ (𝐹𝑏) ⊆ 𝐵))
128, 11mpbird 165 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑏) ∈ 𝒫 𝐵)
1312adantr 270 . 2 ((𝜑𝑏 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝐹𝑏) ∈ 𝒫 𝐵)
14 imassrn 4730 . . . . 5 (𝐹𝑎) ⊆ ran 𝐹
15 dfdm4 4576 . . . . . 6 dom 𝐹 = ran 𝐹
16 f1odm 5183 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
173, 16syl 14 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
1815, 17syl5eqr 2129 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐴)
1914, 18syl5sseq 3057 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑎) ⊆ 𝐴)
20 f1opw2.2 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑎) ∈ V)
21 elpwg 3409 . . . . 5 ((𝐹𝑎) ∈ V → ((𝐹𝑎) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝐹𝑎) ⊆ 𝐴))
2220, 21syl 14 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝑎) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝐹𝑎) ⊆ 𝐴))
2319, 22mpbird 165 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑎) ∈ 𝒫 𝐴)
2423adantr 270 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹𝑎) ∈ 𝒫 𝐴)
25 elpwi 3410 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ 𝒫 𝐵𝑎𝐵)
2625adantl 271 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑎𝐵)
27 foimacnv 5197 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴onto𝐵𝑎𝐵) → (𝐹 “ (𝐹𝑎)) = 𝑎)
285, 26, 27syl2an 283 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)) → (𝐹 “ (𝐹𝑎)) = 𝑎)
2928eqcomd 2088 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)) → 𝑎 = (𝐹 “ (𝐹𝑎)))
30 imaeq2 4715 . . . . 5 (𝑏 = (𝐹𝑎) → (𝐹𝑏) = (𝐹 “ (𝐹𝑎)))
3130eqeq2d 2094 . . . 4 (𝑏 = (𝐹𝑎) → (𝑎 = (𝐹𝑏) ↔ 𝑎 = (𝐹 “ (𝐹𝑎))))
3229, 31syl5ibrcom 155 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)) → (𝑏 = (𝐹𝑎) → 𝑎 = (𝐹𝑏)))
33 f1of1 5178 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴1-1𝐵)
343, 33syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐴1-1𝐵)
35 elpwi 3410 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑏𝐴)
3635adantr 270 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑏𝐴)
37 f1imacnv 5196 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝑏𝐴) → (𝐹 “ (𝐹𝑏)) = 𝑏)
3834, 36, 37syl2an 283 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)) → (𝐹 “ (𝐹𝑏)) = 𝑏)
3938eqcomd 2088 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)) → 𝑏 = (𝐹 “ (𝐹𝑏)))
40 imaeq2 4715 . . . . 5 (𝑎 = (𝐹𝑏) → (𝐹𝑎) = (𝐹 “ (𝐹𝑏)))
4140eqeq2d 2094 . . . 4 (𝑎 = (𝐹𝑏) → (𝑏 = (𝐹𝑎) ↔ 𝑏 = (𝐹 “ (𝐹𝑏))))
4239, 41syl5ibrcom 155 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)) → (𝑎 = (𝐹𝑏) → 𝑏 = (𝐹𝑎)))
4332, 42impbid 127 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)) → (𝑏 = (𝐹𝑎) ↔ 𝑎 = (𝐹𝑏)))
441, 13, 24, 43f1o2d 5758 1 (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐹𝑏)):𝒫 𝐴1-1-onto→𝒫 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1285  wcel 1434  Vcvv 2611  wss 2983  𝒫 cpw 3401  cmpt 3860  ccnv 4391  dom cdm 4392  ran crn 4393  cima 4395  1-1wf1 4950  ontowfo 4951  1-1-ontowf1o 4952
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2613  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-id 4077  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960
This theorem is referenced by:  f1opw  5760
  Copyright terms: Public domain W3C validator