ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1ssres GIF version

Theorem f1ssres 5126
Description: A function that is one-to-one is also one-to-one on some aubset of its domain. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1ssres ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴) → (𝐹𝐶):𝐶1-1𝐵)

Proof of Theorem f1ssres
StepHypRef Expression
1 f1f 5119 . . 3 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴𝐵)
2 fssres 5093 . . 3 ((𝐹:𝐴𝐵𝐶𝐴) → (𝐹𝐶):𝐶𝐵)
31, 2sylan 271 . 2 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴) → (𝐹𝐶):𝐶𝐵)
4 df-f1 4934 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ Fun 𝐹))
54simprbi 264 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → Fun 𝐹)
6 funres11 4998 . . . 4 (Fun 𝐹 → Fun (𝐹𝐶))
75, 6syl 14 . . 3 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → Fun (𝐹𝐶))
87adantr 265 . 2 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴) → Fun (𝐹𝐶))
9 df-f1 4934 . 2 ((𝐹𝐶):𝐶1-1𝐵 ↔ ((𝐹𝐶):𝐶𝐵 ∧ Fun (𝐹𝐶)))
103, 8, 9sylanbrc 402 1 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴) → (𝐹𝐶):𝐶1-1𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wss 2944  ccnv 4371  cres 4374  Fun wfun 4923  wf 4925  1-1wf1 4926
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-br 3792  df-opab 3846  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934
This theorem is referenced by:  f1ores  5168
  Copyright terms: Public domain W3C validator