Theorem fabexg 5305

Description: Existence of a set of functions. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.)

Hypothesis

Ref	Expression
fabexg.1	⊢ 𝐹 = {𝑥 ∣ (𝑥:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝜑)}

Assertion

Ref	Expression
fabexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐹 ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fabexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpexg 4648	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
2		pwexg 4099	. 2 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → 𝒫 (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
3		fabexg.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = {𝑥 ∣ (𝑥:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝜑)}
4		fssxp 5285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥:𝐴⟶𝐵 → 𝑥 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
5		velpw 3512	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝐵) ↔ 𝑥 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
6	4, 5	sylibr 133	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥:𝐴⟶𝐵 → 𝑥 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝐵))
7	6	anim1i 338	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝐵) ∧ 𝜑))
8	7	ss2abi 3164	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∣ (𝑥:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝜑)} ⊆ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝐵) ∧ 𝜑)}
9	3, 8	eqsstri 3124	. . . 4 ⊢ 𝐹 ⊆ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝐵) ∧ 𝜑)}
10		ssab2 3176	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝐵) ∧ 𝜑)} ⊆ 𝒫 (𝐴 × 𝐵)
11	9, 10	sstri 3101	. . 3 ⊢ 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝐴 × 𝐵)
12		ssexg 4062	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝒫 (𝐴 × 𝐵) ∧ 𝒫 (𝐴 × 𝐵) ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
13	11, 12	mpan 420	. 2 ⊢ (𝒫 (𝐴 × 𝐵) ∈ V → 𝐹 ∈ V)
14	1, 2, 13	3syl 17	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  {cab 2123  Vcvv 2681   ⊆ wss 3066  𝒫 cpw 3505   × cxp 4532  ⟶wf 5114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-dm 4544  df-rn 4545  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122

This theorem is referenced by:  fabex  5306  f1oabexg  5372