Theorem fac2 9755

Description: The factorial of 2. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fac2	⊢ (!‘2) = 2

Proof of Theorem fac2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 8165	. . 3 ⊢ 2 = (1 + 1)
2	1	fveq2i 5212	. 2 ⊢ (!‘2) = (!‘(1 + 1))
3		1nn0 8371	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4		facp1 9754	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (!‘(1 + 1)) = ((!‘1) · (1 + 1)))
5	3, 4	ax-mp 7	. . 3 ⊢ (!‘(1 + 1)) = ((!‘1) · (1 + 1))
6		fac1 9753	. . . . 5 ⊢ (!‘1) = 1
7		1p1e2 8222	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
8	6, 7	oveq12i 5555	. . . 4 ⊢ ((!‘1) · (1 + 1)) = (1 · 2)
9		2cn 8177	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
10	9	mulid2i 7184	. . . 4 ⊢ (1 · 2) = 2
11	8, 10	eqtri 2102	. . 3 ⊢ ((!‘1) · (1 + 1)) = 2
12	5, 11	eqtri 2102	. 2 ⊢ (!‘(1 + 1)) = 2
13	2, 12	eqtri 2102	1 ⊢ (!‘2) = 2

Syntax hints:   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  ‘cfv 4932  (class class class)co 5543  1c1 7044   + caddc 7046   · cmul 7048  2c2 8156  ℕ₀cn0 8355  !cfa 9749

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-ltadd 7154

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-ilim 4132  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-frec 6040  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-inn 8107  df-2 8165  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-iseq 9522  df-fac 9750

This theorem is referenced by:  fac3  9756  bcn2  9788  4bc2eq6  9798