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Theorem facavg 9614
Description: The product of two factorials is greater than or equal to the factorial of (the floor of) their average. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
facavg ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem facavg
StepHypRef Expression
1 nn0addcl 8274 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
21nn0zd 8417 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
3 2nn 8144 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
4 znq 8656 . . . . . 6 (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℚ)
52, 3, 4sylancl 398 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℚ)
6 flqle 9228 . . . . 5 (((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℚ → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2))
75, 6syl 14 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2))
85flqcld 9227 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℤ)
98zred 8419 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℝ)
10 nn0readdcl 8298 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
1110rehalfcld 8228 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℝ)
12 nn0re 8248 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
1312adantr 265 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
14 letr 7160 . . . . 5 (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀))
159, 11, 13, 14syl3anc 1146 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀))
167, 15mpand 413 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀 → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀))
171nn0ge0d 8295 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝑀 + 𝑁))
18 halfnneg2 8214 . . . . . . 7 ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ → (0 ≤ (𝑀 + 𝑁) ↔ 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2)))
1910, 18syl 14 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑀 + 𝑁) ↔ 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2)))
2017, 19mpbid 139 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2))
21 flqge0nn0 9243 . . . . 5 ((((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℚ ∧ 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2)) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0)
225, 20, 21syl2anc 397 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0)
23 simpl 106 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
24 facwordi 9608 . . . . 5 (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀))
25243exp 1114 . . . 4 ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀))))
2622, 23, 25sylc 60 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀)))
27 faccl 9603 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
2827nncnd 8004 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℂ)
2928mulid1d 7102 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑀) · 1) = (!‘𝑀))
3029adantr 265 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · 1) = (!‘𝑀))
31 faccl 9603 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3231nnred 8003 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
3332adantl 266 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
3427nnred 8003 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
3527nnnn0d 8292 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℕ0)
3635nn0ge0d 8295 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (!‘𝑀))
3734, 36jca 294 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑀)))
3837adantr 265 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑀)))
3931nnge1d 8032 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (!‘𝑁))
4039adantl 266 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (!‘𝑁))
41 1re 7084 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
42 lemul2a 7900 . . . . . . 7 (((1 ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑀))) ∧ 1 ≤ (!‘𝑁)) → ((!‘𝑀) · 1) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
4341, 42mp3anl1 1237 . . . . . 6 ((((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑀))) ∧ 1 ≤ (!‘𝑁)) → ((!‘𝑀) · 1) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
4433, 38, 40, 43syl21anc 1145 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · 1) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
4530, 44eqbrtrrd 3814 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
46 faccl 9603 . . . . . . 7 ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ∈ ℕ)
4722, 46syl 14 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ∈ ℕ)
4847nnred 8003 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ∈ ℝ)
4934adantr 265 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
50 remulcl 7067 . . . . . 6 (((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ) → ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
5134, 32, 50syl2an 277 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
52 letr 7160 . . . . 5 (((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀) ∧ (!‘𝑀) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
5348, 49, 51, 52syl3anc 1146 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀) ∧ (!‘𝑀) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
5445, 53mpan2d 412 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
5516, 26, 543syld 55 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
56 nn0re 8248 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
5756adantl 266 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
58 letr 7160 . . . . 5 (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁))
599, 11, 57, 58syl3anc 1146 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁))
607, 59mpand 413 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁 → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁))
61 simpr 107 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
62 facwordi 9608 . . . . 5 (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁))
63623exp 1114 . . . 4 ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁))))
6422, 61, 63sylc 60 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁)))
6531nncnd 8004 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
6665mulid2d 7103 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 · (!‘𝑁)) = (!‘𝑁))
6766adantl 266 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (1 · (!‘𝑁)) = (!‘𝑁))
6831nnnn0d 8292 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ0)
6968nn0ge0d 8295 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (!‘𝑁))
7032, 69jca 294 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑁)))
7170adantl 266 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑁)))
7227nnge1d 8032 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (!‘𝑀))
7372adantr 265 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (!‘𝑀))
74 lemul1a 7899 . . . . . . 7 (((1 ∈ ℝ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑁))) ∧ 1 ≤ (!‘𝑀)) → (1 · (!‘𝑁)) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
7541, 74mp3anl1 1237 . . . . . 6 ((((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑁))) ∧ 1 ≤ (!‘𝑀)) → (1 · (!‘𝑁)) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
7649, 71, 73, 75syl21anc 1145 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (1 · (!‘𝑁)) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
7767, 76eqbrtrrd 3814 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘𝑁) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
78 letr 7160 . . . . 5 (((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁) ∧ (!‘𝑁) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
7948, 33, 51, 78syl3anc 1146 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁) ∧ (!‘𝑁) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
8077, 79mpan2d 412 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
8160, 64, 803syld 55 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
8223nn0zd 8417 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
83 zq 8658 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℚ)
8482, 83syl 14 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℚ)
8561nn0zd 8417 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
86 zq 8658 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
8785, 86syl 14 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℚ)
88 qavgle 9215 . . 3 ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀 ∨ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁))
8984, 87, 88syl2anc 397 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀 ∨ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁))
9055, 81, 89mpjaod 648 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  wo 639   = wceq 1259  wcel 1409   class class class wbr 3792  cfv 4930  (class class class)co 5540  cr 6946  0cc0 6947  1c1 6948   + caddc 6950   · cmul 6952  cle 7120   / cdiv 7725  cn 7990  2c2 8040  0cn0 8239  cz 8302  cq 8651  cfl 9220  !cfa 9593
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060  ax-arch 7061
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-frec 6009  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647  df-div 7726  df-inn 7991  df-2 8049  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570  df-q 8652  df-rp 8682  df-fl 9222  df-iseq 9376  df-fac 9594
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