ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  faclbnd2 GIF version

Theorem faclbnd2 9766
Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) / 2) ≤ (!‘𝑁))

Proof of Theorem faclbnd2
StepHypRef Expression
1 sq2 9668 . . . . . 6 (2↑2) = 4
2 2t2e4 8253 . . . . . 6 (2 · 2) = 4
31, 2eqtr4i 2105 . . . . 5 (2↑2) = (2 · 2)
43oveq2i 5554 . . . 4 ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) = ((2↑(𝑁 + 1)) / (2 · 2))
5 2cn 8177 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
6 expp1 9580 . . . . . 6 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
75, 6mpan 415 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
87oveq1d 5558 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(𝑁 + 1)) / (2 · 2)) = (((2↑𝑁) · 2) / (2 · 2)))
94, 8syl5eq 2126 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) = (((2↑𝑁) · 2) / (2 · 2)))
10 expcl 9591 . . . . 5 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
115, 10mpan 415 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
125a1i 9 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
13 2ap0 8199 . . . . 5 2 # 0
1413a1i 9 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 # 0)
1511, 12, 12, 12, 14, 14divmuldivapd 7985 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑𝑁) / 2) · (2 / 2)) = (((2↑𝑁) · 2) / (2 · 2)))
16 2div2e1 8231 . . . . 5 (2 / 2) = 1
1716oveq2i 5554 . . . 4 (((2↑𝑁) / 2) · (2 / 2)) = (((2↑𝑁) / 2) · 1)
1811halfcld 8342 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) / 2) ∈ ℂ)
1918mulid1d 7198 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑𝑁) / 2) · 1) = ((2↑𝑁) / 2))
2017, 19syl5eq 2126 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑𝑁) / 2) · (2 / 2)) = ((2↑𝑁) / 2))
219, 15, 203eqtr2rd 2121 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) / 2) = ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)))
22 2nn0 8372 . . . 4 2 ∈ ℕ0
23 faclbnd 9765 . . . 4 ((2 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((2↑2) · (!‘𝑁)))
2422, 23mpan 415 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((2↑2) · (!‘𝑁)))
25 2re 8176 . . . . 5 2 ∈ ℝ
26 peano2nn0 8395 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
27 reexpcl 9590 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
2825, 26, 27sylancr 405 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
29 faccl 9759 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3029nnred 8119 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
31 4re 8183 . . . . . . 7 4 ∈ ℝ
321, 31eqeltri 2152 . . . . . 6 (2↑2) ∈ ℝ
33 4pos 8203 . . . . . . 7 0 < 4
3433, 1breqtrri 3818 . . . . . 6 0 < (2↑2)
3532, 34pm3.2i 266 . . . . 5 ((2↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑2))
36 ledivmul 8022 . . . . 5 (((2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ ((2↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑2))) → (((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) ≤ (!‘𝑁) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((2↑2) · (!‘𝑁))))
3735, 36mp3an3 1258 . . . 4 (((2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ) → (((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) ≤ (!‘𝑁) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((2↑2) · (!‘𝑁))))
3828, 30, 37syl2anc 403 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) ≤ (!‘𝑁) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((2↑2) · (!‘𝑁))))
3924, 38mpbird 165 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) ≤ (!‘𝑁))
4021, 39eqbrtrd 3813 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) / 2) ≤ (!‘𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1285  wcel 1434   class class class wbr 3793  cfv 4932  (class class class)co 5543  cc 7041  cr 7042  0cc0 7043  1c1 7044   + caddc 7046   · cmul 7048   < clt 7215  cle 7216   # cap 7748   / cdiv 7827  2c2 8156  4c4 8158  0cn0 8355  cexp 9572  !cfa 9749
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155  ax-pre-mulext 7156
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-if 3360  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-ilim 4132  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-frec 6040  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749  df-div 7828  df-inn 8107  df-2 8165  df-3 8166  df-4 8167  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-rp 8816  df-iseq 9522  df-iexp 9573  df-fac 9750
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator