Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  facnn GIF version

Theorem facnn 9740
 Description: Value of the factorial function for positive integers. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
facnn (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I , ℂ)‘𝑁))

Proof of Theorem facnn
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 7164 . . 3 0 ∈ V
2 1ex 7165 . . 3 1 ∈ V
3 df-fac 9739 . . . 4 ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I , ℂ))
4 nnuz 8724 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
5 dfn2 8357 . . . . . . . 8 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
64, 5eqtr3i 2104 . . . . . . 7 (ℤ‘1) = (ℕ0 ∖ {0})
76reseq2i 4631 . . . . . 6 (seq1( · , I , ℂ) ↾ (ℤ‘1)) = (seq1( · , I , ℂ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))
8 eqid 2082 . . . . . . . . . 10 (ℤ‘1) = (ℤ‘1)
9 1zzd 8448 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
10 fvi 5256 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ (ℤ‘1) → ( I ‘𝑓) = 𝑓)
1110eleq1d 2148 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (ℤ‘1) → (( I ‘𝑓) ∈ (ℤ‘1) ↔ 𝑓 ∈ (ℤ‘1)))
1211ibir 175 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (ℤ‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ (ℤ‘1))
13 eluzelcn 8700 . . . . . . . . . . . 12 (( I ‘𝑓) ∈ (ℤ‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
1412, 13syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (ℤ‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
1514adantl 271 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑓 ∈ (ℤ‘1)) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
16 mulcl 7151 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
1716adantl 271 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ (𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ)) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
188, 9, 15, 17iseqfcl 9524 . . . . . . . . 9 (⊤ → seq1( · , I , ℂ):(ℤ‘1)⟶ℂ)
19 ffn 5071 . . . . . . . . 9 (seq1( · , I , ℂ):(ℤ‘1)⟶ℂ → seq1( · , I , ℂ) Fn (ℤ‘1))
2018, 19syl 14 . . . . . . . 8 (⊤ → seq1( · , I , ℂ) Fn (ℤ‘1))
2120trud 1294 . . . . . . 7 seq1( · , I , ℂ) Fn (ℤ‘1)
22 fnresdm 5033 . . . . . . 7 (seq1( · , I , ℂ) Fn (ℤ‘1) → (seq1( · , I , ℂ) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( · , I , ℂ))
2321, 22ax-mp 7 . . . . . 6 (seq1( · , I , ℂ) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( · , I , ℂ)
247, 23eqtr3i 2104 . . . . 5 (seq1( · , I , ℂ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})) = seq1( · , I , ℂ)
2524uneq2i 3124 . . . 4 ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I , ℂ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))) = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I , ℂ))
263, 25eqtr4i 2105 . . 3 ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I , ℂ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})))
271, 2, 26fvsnun2 5387 . 2 (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) → (!‘𝑁) = (seq1( · , I , ℂ)‘𝑁))
2827, 5eleq2s 2174 1 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I , ℂ)‘𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1285  ⊤wtru 1286   ∈ wcel 1434   ∖ cdif 2971   ∪ cun 2972  {csn 3400  ⟨cop 3403   I cid 4045   ↾ cres 4367   Fn wfn 4921  ⟶wf 4922  ‘cfv 4926  (class class class)co 5537  ℂcc 7030  0cc0 7032  1c1 7033   · cmul 7037  ℕcn 8095  ℕ0cn0 8344  ℤ≥cuz 8689  seqcseq 9510  !cfa 9738 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3895  ax-sep 3898  ax-nul 3906  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-iinf 4331  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-addcom 7127  ax-addass 7129  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0lt1 7133  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-cnre 7138  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-ltwlin 7140  ax-pre-lttrn 7141  ax-pre-ltadd 7143 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-tr 3878  df-id 4050  df-iord 4123  df-on 4125  df-ilim 4126  df-suc 4128  df-iom 4334  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-f1 4931  df-fo 4932  df-f1o 4933  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-frec 6034  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-sub 7337  df-neg 7338  df-inn 8096  df-n0 8345  df-z 8422  df-uz 8690  df-iseq 9511  df-fac 9739 This theorem is referenced by:  fac1  9742  facp1  9743  ibcval5  9776
 Copyright terms: Public domain W3C validator