Theorem feu 5123

Description: There is exactly one value of a function in its codomain. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
feu	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ⟨𝐶, 𝑦⟩ ∈ 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐹   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝐶

Proof of Theorem feu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5097	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fneu2 5055	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ∃!𝑦⟨𝐶, 𝑦⟩ ∈ 𝐹)
3	1, 2	sylan 277	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ∃!𝑦⟨𝐶, 𝑦⟩ ∈ 𝐹)
4		opelf 5113	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ⟨𝐶, 𝑦⟩ ∈ 𝐹) → (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
5	4	simprd 112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ⟨𝐶, 𝑦⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 ∈ 𝐵)
6	5	ex 113	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (⟨𝐶, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 → 𝑦 ∈ 𝐵))
7	6	pm4.71rd 386	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (⟨𝐶, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ⟨𝐶, 𝑦⟩ ∈ 𝐹)))
8	7	eubidv 1951	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (∃!𝑦⟨𝐶, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ↔ ∃!𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ⟨𝐶, 𝑦⟩ ∈ 𝐹)))
9	8	adantr 270	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (∃!𝑦⟨𝐶, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ↔ ∃!𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ⟨𝐶, 𝑦⟩ ∈ 𝐹)))
10	3, 9	mpbid 145	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ∃!𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ⟨𝐶, 𝑦⟩ ∈ 𝐹))
11		df-reu 2360	. 2 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐵 ⟨𝐶, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ↔ ∃!𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ⟨𝐶, 𝑦⟩ ∈ 𝐹))
12	10, 11	sylibr 132	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ⟨𝐶, 𝑦⟩ ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∈ wcel 1434  ∃!weu 1943  ∃!wreu 2355  ⟨cop 3419   Fn wfn 4947  ⟶wf 4948

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-v 2612  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956

This theorem is referenced by:  fsn  5387  f1ofveu  5551