Theorem ffvelrnda 5548

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ffvelrnd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ffvelrnda	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ffvelrnda

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrnd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		ffvelrn 5546	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)
3	1, 2	sylan 281	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1480  ⟶wf 5114  ‘cfv 5118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-sbc 2905  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126

This theorem is referenced by:  ffvelrnd  5549  f1ocnvdm  5675  foeqcnvco  5684  f1oiso2  5721  offeq  5988  suppssof1  5992  ofco  5993  caofref  5996  caofinvl  5997  caofcom  5998  caofrss  5999  caoftrn  6000  smofvon2dm  6186  smofvon  6189  mapxpen  6735  xpmapenlem  6736  en2eqpr  6794  supisoex  6889  ordiso2  6913  omp1eomlem  6972  ctssdccl  6989  ctssdc  6991  enumctlemm  6992  enomnilem  7003  fodjuomnilemdc  7009  ismkvnex  7022  cauappcvgprlemladdru  7457  cauappcvgprlemladdrl  7458  caucvgprlemladdrl  7479  caucvgprprlemopu  7500  caucvgprprlemexbt  7507  caucvgprprlemexb  7508  caucvgsrlemcl  7590  caucvgsrlemfv  7592  caucvgsrlemcau  7594  caucvgsrlembound  7595  caucvgsrlemoffval  7597  caucvgsrlemofff  7598  caucvgsrlemoffgt1  7600  caucvgsrlemoffres  7601  caucvgsr  7603  axcaucvglemcl  7696  frecuzrdgfunlem  10185  monoord2  10243  seq3f1o  10270  seq3homo  10276  seqfeq3  10278  zfz1isolemiso  10575  seq3coll  10578  resqrexlemfp1  10774  resqrexlemover  10775  resqrexlemdec  10776  resqrexlemlo  10778  resqrexlemcalc1  10779  resqrexlemcalc2  10780  resqrexlemcalc3  10781  resqrexlemgt0  10785  resqrexlemsqa  10789  clim2ser  11099  clim2ser2  11100  isermulc2  11102  iserle  11104  climserle  11107  climrecvg1n  11110  climcvg1nlem  11111  summodclem3  11142  summodclem2a  11143  fsumgcl  11148  fsum3  11149  fsumf1o  11152  isumss  11153  fisumss  11154  fsumcl2lem  11160  fsumadd  11168  isumclim3  11185  isummulc2  11188  isumrecl  11191  isumadd  11193  fsummulc2  11210  iserabs  11237  cvgcmpub  11238  isumshft  11252  isumsplit  11253  mertensabs  11299  clim2prod  11301  clim2divap  11302  prodfap0  11307  prodfdivap  11309  efcj  11368  nn0seqcvgd  11711  algrp1  11716  alginv  11717  algcvg  11718  algcvga  11721  algfx  11722  eucalgcvga  11728  cnptoprest2  12398  lmss  12404  txcnmpt  12431  txlm  12437  lmcn2  12438  psmetxrge0  12490  metcnp  12670  climcncf  12729  negfcncf  12747  ivthdec  12780  dvcnp2cntop  12821  dvaddxxbr  12823  dvimulf  12828  dvcj  12831  dvfre  12832  nninfall  13193  nninffeq  13205  refeq  13212  trilpolemclim  13218  trilpolemcl  13219  trilpolemisumle  13220  trilpolemeq1  13222