ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fimacnv GIF version

Theorem fimacnv 5328
Description: The preimage of the codomain of a mapping is the mapping's domain. (Contributed by FL, 25-Jan-2007.)
Assertion
Ref Expression
fimacnv (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem fimacnv
StepHypRef Expression
1 imassrn 4709 . . 3 (𝐹𝐵) ⊆ ran 𝐹
2 dfdm4 4555 . . . 4 dom 𝐹 = ran 𝐹
3 fdm 5081 . . . . 5 (𝐹:𝐴𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
4 ssid 3019 . . . . 5 𝐴𝐴
53, 4syl6eqss 3050 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵 → dom 𝐹𝐴)
62, 5syl5eqssr 3045 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵 → ran 𝐹𝐴)
71, 6syl5ss 3011 . 2 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐵) ⊆ 𝐴)
8 imassrn 4709 . . . 4 (𝐹𝐴) ⊆ ran 𝐹
9 frn 5083 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵 → ran 𝐹𝐵)
108, 9syl5ss 3011 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐴) ⊆ 𝐵)
11 ffun 5079 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵 → Fun 𝐹)
124, 3syl5sseqr 3049 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵𝐴 ⊆ dom 𝐹)
13 funimass3 5315 . . . 4 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝐴) ⊆ 𝐵𝐴 ⊆ (𝐹𝐵)))
1411, 12, 13syl2anc 403 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵 → ((𝐹𝐴) ⊆ 𝐵𝐴 ⊆ (𝐹𝐵)))
1510, 14mpbid 145 . 2 (𝐹:𝐴𝐵𝐴 ⊆ (𝐹𝐵))
167, 15eqssd 3017 1 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 103   = wceq 1285  wss 2974  ccnv 4370  dom cdm 4371  ran crn 4372  cima 4374  Fun wfun 4926  wf 4928
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-sbc 2817  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-fv 4940
This theorem is referenced by:  fmpt  5351  nn0supp  8407
  Copyright terms: Public domain W3C validator