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Theorem fin0 6305
Description: A nonempty finite set has at least one element. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
fin0 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem fin0
Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6204 . . 3 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
21biimpi 113 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
3 simplrr 488 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝐴𝑛)
4 simpr 103 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝑛 = ∅)
53, 4breqtrd 3785 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝐴 ≈ ∅)
6 en0 6238 . . . . . 6 (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
75, 6sylib 127 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝐴 = ∅)
8 nner 2210 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ¬ 𝐴 ≠ ∅)
97, 8syl 14 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → ¬ 𝐴 ≠ ∅)
10 n0r 3231 . . . . . 6 (∃𝑥 𝑥𝐴𝐴 ≠ ∅)
1110necon2bi 2257 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ¬ ∃𝑥 𝑥𝐴)
127, 11syl 14 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → ¬ ∃𝑥 𝑥𝐴)
139, 122falsed 618 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴))
14 simplrr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) → 𝐴𝑛)
1514adantr 261 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) → 𝐴𝑛)
1615ensymd 6226 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) → 𝑛𝐴)
17 bren 6191 . . . . . . . 8 (𝑛𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑛1-1-onto𝐴)
1816, 17sylib 127 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) → ∃𝑓 𝑓:𝑛1-1-onto𝐴)
19 f1of 5089 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝑛1-1-onto𝐴𝑓:𝑛𝐴)
2019adantl 262 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑓:𝑛1-1-onto𝐴) → 𝑓:𝑛𝐴)
21 sucidg 4125 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ω → 𝑚 ∈ suc 𝑚)
2221ad3antlr 462 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑓:𝑛1-1-onto𝐴) → 𝑚 ∈ suc 𝑚)
23 simplr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑓:𝑛1-1-onto𝐴) → 𝑛 = suc 𝑚)
2422, 23eleqtrrd 2117 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑓:𝑛1-1-onto𝐴) → 𝑚𝑛)
2520, 24ffvelrnd 5266 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑓:𝑛1-1-onto𝐴) → (𝑓𝑚) ∈ 𝐴)
26 elex2 2567 . . . . . . . . . 10 ((𝑓𝑚) ∈ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
2725, 26syl 14 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑓:𝑛1-1-onto𝐴) → ∃𝑥 𝑥𝐴)
2827, 10syl 14 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑓:𝑛1-1-onto𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
2928, 272thd 164 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑓:𝑛1-1-onto𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴))
3018, 29exlimddv 1778 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴))
3130ex 108 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝑛 = suc 𝑚 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)))
3231rexlimdva 2430 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → (∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)))
3332imp 115 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ ∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴))
34 nn0suc 4290 . . . 4 (𝑛 ∈ ω → (𝑛 = ∅ ∨ ∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚))
3534ad2antrl 459 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → (𝑛 = ∅ ∨ ∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚))
3613, 33, 35mpjaodan 711 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴))
372, 36rexlimddv 2434 1 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 97  wb 98  wo 629   = wceq 1243  wex 1381  wcel 1393  wne 2204  wrex 2304  c0 3221   class class class wbr 3761  suc csuc 4074  ωcom 4276  wf 4861  1-1-ontowf1o 4864  cfv 4865  cen 6182  Fincfn 6184
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3872  ax-nul 3880  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4142  ax-iinf 4274
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2308  df-rex 2309  df-v 2556  df-sbc 2762  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-int 3613  df-br 3762  df-opab 3816  df-id 4027  df-suc 4080  df-iom 4277  df-xp 4314  df-rel 4315  df-cnv 4316  df-co 4317  df-dm 4318  df-rn 4319  df-res 4320  df-ima 4321  df-iota 4830  df-fun 4867  df-fn 4868  df-f 4869  df-f1 4870  df-fo 4871  df-f1o 4872  df-fv 4873  df-er 6069  df-en 6185  df-fin 6187
This theorem is referenced by:  findcard2  6308  findcard2s  6309  diffisn  6312
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