Theorem fin0 6772

Description: A nonempty finite set has at least one element. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fin0	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem fin0

Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6648	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
2	1	biimpi 119	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
3		simplrr 525	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝐴 ≈ 𝑛)
4		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝑛 = ∅)
5	3, 4	breqtrd 3949	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝐴 ≈ ∅)
6		en0 6682	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
7	5, 6	sylib 121	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝐴 = ∅)
8		nner 2310	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ 𝐴 ≠ ∅)
9	7, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → ¬ 𝐴 ≠ ∅)
10		n0r 3371	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
11	10	necon2bi 2361	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
12	7, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
13	9, 12	2falsed 691	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴))
14		simplrr 525	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) → 𝐴 ≈ 𝑛)
15	14	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) → 𝐴 ≈ 𝑛)
16	15	ensymd 6670	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) → 𝑛 ≈ 𝐴)
17		bren 6634	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ≈ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴)
18	16, 17	sylib 121	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) → ∃𝑓 𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴)
19		f1of 5360	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴 → 𝑓:𝑛⟶𝐴)
20	19	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴) → 𝑓:𝑛⟶𝐴)
21		sucidg 4333	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ω → 𝑚 ∈ suc 𝑚)
22	21	ad3antlr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴) → 𝑚 ∈ suc 𝑚)
23		simplr 519	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴) → 𝑛 = suc 𝑚)
24	22, 23	eleqtrrd 2217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴) → 𝑚 ∈ 𝑛)
25	20, 24	ffvelrnd 5549	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴) → (𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴)
26		elex2 2697	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
27	25, 26	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
28	27, 10	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
29	28, 27	2thd 174	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴))
30	18, 29	exlimddv 1870	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴))
31	30	ex 114	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝑛 = suc 𝑚 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)))
32	31	rexlimdva 2547	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)))
33	32	imp 123	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ ∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴))
34		nn0suc 4513	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (𝑛 = ∅ ∨ ∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚))
35	34	ad2antrl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝑛 = ∅ ∨ ∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚))
36	13, 33, 35	mpjaodan 787	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴))
37	2, 36	rexlimddv 2552	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 697   = wceq 1331  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2306  ∃wrex 2415  ∅c0 3358   class class class wbr 3924  suc csuc 4282  ωcom 4499  ⟶wf 5114  –1-1-onto→wf1o 5117  ‘cfv 5118   ≈ cen 6625  Fincfn 6627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-er 6422  df-en 6628  df-fin 6630

This theorem is referenced by:  findcard2  6776  findcard2s  6777  diffisn  6780  fimax2gtri  6788  elfi2  6853  elfir  6854  fiuni  6859  fifo  6861