Theorem finnum 7032

Description: Every finite set is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
finnum	⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem finnum

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6648	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
2		nnon 4518	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ On)
3		ensym 6668	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑥 → 𝑥 ≈ 𝐴)
4		isnumi 7031	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
5	2, 3, 4	syl2an 287	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥) → 𝐴 ∈ dom card)
6	5	rexlimiva 2542	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥 → 𝐴 ∈ dom card)
7	1, 6	sylbi 120	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1480  ∃wrex 2415   class class class wbr 3924  Oncon0 4280  ωcom 4499  dom cdm 4534   ≈ cen 6625  Fincfn 6627  cardccrd 7028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-er 6422  df-en 6628  df-fin 6630  df-card 7029

This theorem is referenced by: (None)