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Theorem fisbth 6370
Description: Schroeder-Bernstein Theorem for finite sets. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
fisbth (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → 𝐴𝐵)

Proof of Theorem fisbth
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6271 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
21biimpi 117 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
32ad2antrr 465 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
4 isfi 6271 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω 𝐵𝑚)
54biimpi 117 . . . 4 (𝐵 ∈ Fin → ∃𝑚 ∈ ω 𝐵𝑚)
65ad3antlr 470 . . 3 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω 𝐵𝑚)
7 simplrr 496 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝐴𝑛)
87ensymd 6293 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝑛𝐴)
9 simprl 491 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → 𝐴𝐵)
109ad2antrr 465 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝐴𝐵)
11 endomtr 6300 . . . . . . . . 9 ((𝑛𝐴𝐴𝐵) → 𝑛𝐵)
128, 10, 11syl2anc 397 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝑛𝐵)
13 simprr 492 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝐵𝑚)
14 domentr 6301 . . . . . . . 8 ((𝑛𝐵𝐵𝑚) → 𝑛𝑚)
1512, 13, 14syl2anc 397 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝑛𝑚)
16 simplrl 495 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝑛 ∈ ω)
17 simprl 491 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝑚 ∈ ω)
18 nndomo 6356 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝑛𝑚𝑛𝑚))
1916, 17, 18syl2anc 397 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → (𝑛𝑚𝑛𝑚))
2015, 19mpbid 139 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝑛𝑚)
2113ensymd 6293 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝑚𝐵)
22 simprr 492 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → 𝐵𝐴)
2322ad2antrr 465 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝐵𝐴)
24 endomtr 6300 . . . . . . . . 9 ((𝑚𝐵𝐵𝐴) → 𝑚𝐴)
2521, 23, 24syl2anc 397 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝑚𝐴)
26 domentr 6301 . . . . . . . 8 ((𝑚𝐴𝐴𝑛) → 𝑚𝑛)
2725, 7, 26syl2anc 397 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝑚𝑛)
28 nndomo 6356 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝑚𝑛𝑚𝑛))
2917, 16, 28syl2anc 397 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → (𝑚𝑛𝑚𝑛))
3027, 29mpbid 139 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝑚𝑛)
3120, 30eqssd 2989 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝑛 = 𝑚)
327, 31breqtrd 3815 . . . 4 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝐴𝑚)
33 entr 6294 . . . 4 ((𝐴𝑚𝑚𝐵) → 𝐴𝐵)
3432, 21, 33syl2anc 397 . . 3 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝐴𝐵)
356, 34rexlimddv 2454 . 2 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → 𝐴𝐵)
363, 35rexlimddv 2454 1 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  wcel 1409  wrex 2324  wss 2944   class class class wbr 3791  ωcom 4340  cen 6249  cdom 6250  Fincfn 6251
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-br 3792  df-opab 3846  df-tr 3882  df-id 4057  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-er 6136  df-en 6252  df-dom 6253  df-fin 6254
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