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Theorem flodddiv4 10478
Description: The floor of an odd integer divided by 4. (Contributed by AV, 17-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
flodddiv4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))

Proof of Theorem flodddiv4
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5550 . . . 4 (𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1) → (𝑁 / 4) = (((2 · 𝑀) + 1) / 4))
2 2cnd 8179 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
3 zcn 8437 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
42, 3mulcld 7201 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
5 1cnd 7197 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
6 4cn 8184 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
76a1i 9 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 4 ∈ ℂ)
8 4ap0 8205 . . . . . . 7 4 # 0
98a1i 9 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 4 # 0)
104, 5, 7, 9divdirapd 7982 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑀) + 1) / 4) = (((2 · 𝑀) / 4) + (1 / 4)))
11 2t2e4 8253 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
1211eqcomi 2086 . . . . . . . . 9 4 = (2 · 2)
1312a1i 9 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 4 = (2 · 2))
1413oveq2d 5559 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → ((2 · 𝑀) / 4) = ((2 · 𝑀) / (2 · 2)))
15 2ap0 8199 . . . . . . . . 9 2 # 0
1615a1i 9 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 2 # 0)
173, 2, 2, 16, 16divcanap5d 7970 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → ((2 · 𝑀) / (2 · 2)) = (𝑀 / 2))
1814, 17eqtrd 2114 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → ((2 · 𝑀) / 4) = (𝑀 / 2))
1918oveq1d 5558 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑀) / 4) + (1 / 4)) = ((𝑀 / 2) + (1 / 4)))
2010, 19eqtrd 2114 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑀) + 1) / 4) = ((𝑀 / 2) + (1 / 4)))
211, 20sylan9eqr 2136 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (𝑁 / 4) = ((𝑀 / 2) + (1 / 4)))
2221fveq2d 5213 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
23 iftrue 3364 . . . . . . . 8 (2 ∥ 𝑀 → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (𝑀 / 2))
2423adantr 270 . . . . . . 7 ((2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (𝑀 / 2))
25 1re 7180 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
26 0le1 7652 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 1
27 4re 8183 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
28 4pos 8203 . . . . . . . . . 10 0 < 4
29 divge0 8018 . . . . . . . . . 10 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → 0 ≤ (1 / 4))
3025, 26, 27, 28, 29mp4an 418 . . . . . . . . 9 0 ≤ (1 / 4)
31 1lt4 8273 . . . . . . . . . 10 1 < 4
32 recgt1 8042 . . . . . . . . . . 11 ((4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) → (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1))
3327, 28, 32mp2an 417 . . . . . . . . . 10 (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1)
3431, 33mpbi 143 . . . . . . . . 9 (1 / 4) < 1
3530, 34pm3.2i 266 . . . . . . . 8 (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)
36 evend2 10433 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 2) ∈ ℤ))
3736biimpac 292 . . . . . . . . 9 ((2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 / 2) ∈ ℤ)
38 4nn 8262 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ
39 nnrecq 8811 . . . . . . . . . 10 (4 ∈ ℕ → (1 / 4) ∈ ℚ)
4038, 39ax-mp 7 . . . . . . . . 9 (1 / 4) ∈ ℚ
41 flqbi2 9373 . . . . . . . . 9 (((𝑀 / 2) ∈ ℤ ∧ (1 / 4) ∈ ℚ) → ((⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (𝑀 / 2) ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)))
4237, 40, 41sylancl 404 . . . . . . . 8 ((2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (𝑀 / 2) ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)))
4335, 42mpbiri 166 . . . . . . 7 ((2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (𝑀 / 2))
4424, 43eqtr4d 2117 . . . . . 6 ((2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
4544expcom 114 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑀 → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
46 iffalse 3367 . . . . . . . 8 (¬ 2 ∥ 𝑀 → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = ((𝑀 − 1) / 2))
4746adantr 270 . . . . . . 7 ((¬ 2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = ((𝑀 − 1) / 2))
48 odd2np1 10417 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀))
49 ax-1cn 7131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℂ
50 2cn 8177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℂ
5150, 15pm3.2i 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
52 divcanap5 7869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → ((2 · 1) / (2 · 2)) = (1 / 2))
5349, 51, 51, 52mp3an 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 · 1) / (2 · 2)) = (1 / 2)
54 2t1e2 8252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 · 1) = 2
5554, 11oveq12i 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 · 1) / (2 · 2)) = (2 / 4)
5653, 55eqtr3i 2104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 / 2) = (2 / 4)
5756oveq1i 5553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 / 2) + (1 / 4)) = ((2 / 4) + (1 / 4))
5850, 49, 6, 8divdirapi 7924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 + 1) / 4) = ((2 / 4) + (1 / 4))
59 2p1e3 8232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 + 1) = 3
6059oveq1i 5553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 + 1) / 4) = (3 / 4)
6157, 58, 603eqtr2i 2108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 / 2) + (1 / 4)) = (3 / 4)
6261a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℤ → ((1 / 2) + (1 / 4)) = (3 / 4))
6362oveq2d 5559 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))) = (𝑥 + (3 / 4)))
6463fveq2d 5213 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = (⌊‘(𝑥 + (3 / 4))))
65 3re 8180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 ∈ ℝ
66 0re 7181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℝ
67 3pos 8200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 < 3
6866, 65, 67ltleii 7280 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ≤ 3
69 divge0 8018 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → 0 ≤ (3 / 4))
7065, 68, 27, 28, 69mp4an 418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ≤ (3 / 4)
71 3lt4 8271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 < 4
72 nnrp 8824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
7338, 72ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 ∈ ℝ+
74 divlt1lt 8882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ+) → ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < 4))
7565, 73, 74mp2an 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < 4)
7671, 75mpbir 144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3 / 4) < 1
7770, 76pm3.2i 266 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 ≤ (3 / 4) ∧ (3 / 4) < 1)
78 3z 8461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 ∈ ℤ
79 znq 8790 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 / 4) ∈ ℚ)
8078, 38, 79mp2an 417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3 / 4) ∈ ℚ
81 flqbi2 9373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (3 / 4) ∈ ℚ) → ((⌊‘(𝑥 + (3 / 4))) = 𝑥 ↔ (0 ≤ (3 / 4) ∧ (3 / 4) < 1)))
8280, 81mpan2 416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → ((⌊‘(𝑥 + (3 / 4))) = 𝑥 ↔ (0 ≤ (3 / 4) ∧ (3 / 4) < 1)))
8377, 82mpbiri 166 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑥 + (3 / 4))) = 𝑥)
8464, 83eqtrd 2114 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = 𝑥)
8584adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = 𝑥)
86 oveq1 5550 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 = ((2 · 𝑥) + 1) → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑥) + 1) / 2))
8786eqcoms 2085 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑥) + 1) / 2))
88 2z 8460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℤ
8988a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
90 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℤ)
9189, 90zmulcld 8556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℤ)
9291zcnd 8551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
93 1cnd 7197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
94 2cnd 8179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
9515a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → 2 # 0)
9692, 93, 94, 95divdirapd 7982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) / 2) = (((2 · 𝑥) / 2) + (1 / 2)))
97 zcn 8437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
9897, 94, 95divcanap3d 7949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) / 2) = 𝑥)
9998oveq1d 5558 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) / 2) + (1 / 2)) = (𝑥 + (1 / 2)))
10096, 99eqtrd 2114 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) / 2) = (𝑥 + (1 / 2)))
10187, 100sylan9eqr 2136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (𝑀 / 2) = (𝑥 + (1 / 2)))
102101oveq1d 5558 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 / 2) + (1 / 4)) = ((𝑥 + (1 / 2)) + (1 / 4)))
103 halfcn 8312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 / 2) ∈ ℂ
104103a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
1056, 8recclapi 7897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 / 4) ∈ ℂ
106105a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℤ → (1 / 4) ∈ ℂ)
10797, 104, 106addassd 7203 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 + (1 / 2)) + (1 / 4)) = (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))))
108107adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑥 + (1 / 2)) + (1 / 4)) = (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))))
109102, 108eqtrd 2114 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 / 2) + (1 / 4)) = (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))))
110109fveq2d 5213 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))))
111 oveq1 5550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = ((2 · 𝑥) + 1) → (𝑀 − 1) = (((2 · 𝑥) + 1) − 1))
112111eqcoms 2085 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → (𝑀 − 1) = (((2 · 𝑥) + 1) − 1))
113 pncan1 7548 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + 1) − 1) = (2 · 𝑥))
11492, 113syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) − 1) = (2 · 𝑥))
115112, 114sylan9eqr 2136 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (𝑀 − 1) = (2 · 𝑥))
116115oveq1d 5558 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 − 1) / 2) = ((2 · 𝑥) / 2))
11798adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((2 · 𝑥) / 2) = 𝑥)
118116, 117eqtrd 2114 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 − 1) / 2) = 𝑥)
11985, 110, 1183eqtr4rd 2125 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
120119ex 113 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
121120adantl 271 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
122121rexlimdva 2478 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
12348, 122sylbid 148 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
124123impcom 123 . . . . . . 7 ((¬ 2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
12547, 124eqtrd 2114 . . . . . 6 ((¬ 2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
126125expcom 114 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
127 zeo3 10412 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑀 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑀))
12845, 126, 127mpjaod 671 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
129128eqcomd 2087 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))
130129adantr 270 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))
13122, 130eqtrd 2114 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1285  wcel 1434  wrex 2350  ifcif 3359   class class class wbr 3793  cfv 4932  (class class class)co 5543  cc 7041  cr 7042  0cc0 7043  1c1 7044   + caddc 7046   · cmul 7048   < clt 7215  cle 7216  cmin 7346   # cap 7748   / cdiv 7827  cn 8106  2c2 8156  3c3 8157  4c4 8158  cz 8432  cq 8785  +crp 8815  cfl 9350  cdvds 10340
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155  ax-pre-mulext 7156  ax-arch 7157
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-xor 1308  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-if 3360  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749  df-div 7828  df-inn 8107  df-2 8165  df-3 8166  df-4 8167  df-n0 8356  df-z 8433  df-q 8786  df-rp 8816  df-fl 9352  df-dvds 10341
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