ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fmptapd GIF version

Theorem fmptapd 5407
Description: Append an additional value to a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmptapd.0a (𝜑𝐴 ∈ V)
fmptapd.0b (𝜑𝐵 ∈ V)
fmptapd.1 (𝜑 → (𝑅 ∪ {𝐴}) = 𝑆)
fmptapd.2 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fmptapd (𝜑 → ((𝑥𝑅𝐶) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = (𝑥𝑆𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem fmptapd
StepHypRef Expression
1 fmptapd.0a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
2 fmptapd.0b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ V)
3 fmptsn 5405 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵))
41, 2, 3syl2anc 403 . . . 4 (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐵⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵))
5 elsni 3434 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
6 fmptapd.2 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐵)
75, 6sylan2 280 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {𝐴}) → 𝐶 = 𝐵)
87mpteq2dva 3888 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵))
94, 8eqtr4d 2118 . . 3 (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐵⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐶))
109uneq2d 3136 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝑅𝐶) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = ((𝑥𝑅𝐶) ∪ (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐶)))
11 mptun 5080 . . 3 (𝑥 ∈ (𝑅 ∪ {𝐴}) ↦ 𝐶) = ((𝑥𝑅𝐶) ∪ (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐶))
1211a1i 9 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑅 ∪ {𝐴}) ↦ 𝐶) = ((𝑥𝑅𝐶) ∪ (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐶)))
13 fmptapd.1 . . 3 (𝜑 → (𝑅 ∪ {𝐴}) = 𝑆)
1413mpteq1d 3883 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑅 ∪ {𝐴}) ↦ 𝐶) = (𝑥𝑆𝐶))
1510, 12, 143eqtr2d 2121 1 (𝜑 → ((𝑥𝑅𝐶) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = (𝑥𝑆𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1285  wcel 1434  Vcvv 2610  cun 2980  {csn 3416  cop 3419  cmpt 3859
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-v 2612  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959
This theorem is referenced by:  fmptpr  5408
  Copyright terms: Public domain W3C validator