ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fmptpr GIF version

Theorem fmptpr 5580
Description: Express a pair function in maps-to notation. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmptpr.1 (𝜑𝐴𝑉)
fmptpr.2 (𝜑𝐵𝑊)
fmptpr.3 (𝜑𝐶𝑋)
fmptpr.4 (𝜑𝐷𝑌)
fmptpr.5 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → 𝐸 = 𝐶)
fmptpr.6 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → 𝐸 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
fmptpr (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem fmptpr
StepHypRef Expression
1 df-pr 3504 . . 3 {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})
21a1i 9 . 2 (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
3 mpt0 5220 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐸) = ∅
43uneq1i 3196 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐸) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) = (∅ ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})
5 uncom 3190 . . . . 5 (∅ ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ ∅)
6 un0 3366 . . . . 5 ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ ∅) = {⟨𝐴, 𝐶⟩}
74, 5, 63eqtri 2142 . . . 4 ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐸) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩}
8 fmptpr.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑉)
9 elex 2671 . . . . . 6 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
108, 9syl 14 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
11 fmptpr.3 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑋)
12 elex 2671 . . . . . 6 (𝐶𝑋𝐶 ∈ V)
1311, 12syl 14 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ V)
14 uncom 3190 . . . . . . 7 ({𝐴} ∪ ∅) = (∅ ∪ {𝐴})
15 un0 3366 . . . . . . 7 ({𝐴} ∪ ∅) = {𝐴}
1614, 15eqtr3i 2140 . . . . . 6 (∅ ∪ {𝐴}) = {𝐴}
1716a1i 9 . . . . 5 (𝜑 → (∅ ∪ {𝐴}) = {𝐴})
18 fmptpr.5 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → 𝐸 = 𝐶)
1910, 13, 17, 18fmptapd 5579 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐸) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐸))
207, 19syl5eqr 2164 . . 3 (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐸))
2120uneq1d 3199 . 2 (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ((𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐸) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
22 fmptpr.2 . . . 4 (𝜑𝐵𝑊)
23 elex 2671 . . . 4 (𝐵𝑊𝐵 ∈ V)
2422, 23syl 14 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ V)
25 fmptpr.4 . . . 4 (𝜑𝐷𝑌)
26 elex 2671 . . . 4 (𝐷𝑌𝐷 ∈ V)
2725, 26syl 14 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ V)
28 df-pr 3504 . . . . 5 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2928eqcomi 2121 . . . 4 ({𝐴} ∪ {𝐵}) = {𝐴, 𝐵}
3029a1i 9 . . 3 (𝜑 → ({𝐴} ∪ {𝐵}) = {𝐴, 𝐵})
31 fmptpr.6 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → 𝐸 = 𝐷)
3224, 27, 30, 31fmptapd 5579 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐸) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐸))
332, 21, 323eqtrd 2154 1 (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐸))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1316  wcel 1465  Vcvv 2660  cun 3039  c0 3333  {csn 3497  {cpr 3498  cop 3500  cmpt 3959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator