ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fmptpr GIF version

Theorem fmptpr 5387
Description: Express a pair function in maps-to notation. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmptpr.1 (𝜑𝐴𝑉)
fmptpr.2 (𝜑𝐵𝑊)
fmptpr.3 (𝜑𝐶𝑋)
fmptpr.4 (𝜑𝐷𝑌)
fmptpr.5 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → 𝐸 = 𝐶)
fmptpr.6 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → 𝐸 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
fmptpr (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem fmptpr
StepHypRef Expression
1 df-pr 3413 . . 3 {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})
21a1i 9 . 2 (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
3 mpt0 5057 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐸) = ∅
43uneq1i 3123 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐸) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) = (∅ ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})
5 uncom 3117 . . . . 5 (∅ ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ ∅)
6 un0 3285 . . . . 5 ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ ∅) = {⟨𝐴, 𝐶⟩}
74, 5, 63eqtri 2106 . . . 4 ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐸) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩}
8 fmptpr.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑉)
9 elex 2611 . . . . . 6 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
108, 9syl 14 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
11 fmptpr.3 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑋)
12 elex 2611 . . . . . 6 (𝐶𝑋𝐶 ∈ V)
1311, 12syl 14 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ V)
14 uncom 3117 . . . . . . 7 ({𝐴} ∪ ∅) = (∅ ∪ {𝐴})
15 un0 3285 . . . . . . 7 ({𝐴} ∪ ∅) = {𝐴}
1614, 15eqtr3i 2104 . . . . . 6 (∅ ∪ {𝐴}) = {𝐴}
1716a1i 9 . . . . 5 (𝜑 → (∅ ∪ {𝐴}) = {𝐴})
18 fmptpr.5 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → 𝐸 = 𝐶)
1910, 13, 17, 18fmptapd 5386 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐸) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐸))
207, 19syl5eqr 2128 . . 3 (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐸))
2120uneq1d 3126 . 2 (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ((𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐸) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
22 fmptpr.2 . . . 4 (𝜑𝐵𝑊)
23 elex 2611 . . . 4 (𝐵𝑊𝐵 ∈ V)
2422, 23syl 14 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ V)
25 fmptpr.4 . . . 4 (𝜑𝐷𝑌)
26 elex 2611 . . . 4 (𝐷𝑌𝐷 ∈ V)
2725, 26syl 14 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ V)
28 df-pr 3413 . . . . 5 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2928eqcomi 2086 . . . 4 ({𝐴} ∪ {𝐵}) = {𝐴, 𝐵}
3029a1i 9 . . 3 (𝜑 → ({𝐴} ∪ {𝐵}) = {𝐴, 𝐵})
31 fmptpr.6 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → 𝐸 = 𝐷)
3224, 27, 30, 31fmptapd 5386 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐸) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐸))
332, 21, 323eqtrd 2118 1 (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐸))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1285  wcel 1434  Vcvv 2602  cun 2972  c0 3258  {csn 3406  {cpr 3407  cop 3409  cmpt 3847
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator