Theorem fndmeng 6348

Description: A function is equinumerate to its domain. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fndmeng	⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐹)

Proof of Theorem fndmeng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnex 5409	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)
2		fnfun 5021	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Fun 𝐹)
3	2	adantr 270	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → Fun 𝐹)
4		fundmeng 6346	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ Fun 𝐹) → dom 𝐹 ≈ 𝐹)
5	1, 3, 4	syl2anc 403	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → dom 𝐹 ≈ 𝐹)
6		fndm 5023	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → dom 𝐹 = 𝐴)
7	6	breq1d 3797	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (dom 𝐹 ≈ 𝐹 ↔ 𝐴 ≈ 𝐹))
8	7	adantr 270	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → (dom 𝐹 ≈ 𝐹 ↔ 𝐴 ≈ 𝐹))
9	5, 8	mpbid 145	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∈ wcel 1434  Vcvv 2602   class class class wbr 3787  dom cdm 4365  Fun wfun 4920   Fn wfn 4921   ≈ cen 6278

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3895  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-id 4050  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-f1 4931  df-fo 4932  df-f1o 4933  df-fv 4934  df-en 6281

This theorem is referenced by:  sizefn  9813