Theorem fnoprabg 5865

Description: Functionality and domain of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 28-Aug-2007.)

Assertion

Ref	Expression
fnoprabg	⊢ (∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝜑 ∧ 𝜓)} Fn {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem fnoprabg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eumo 2029	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑧𝜓 → ∃*𝑧𝜓)
2	1	imim2i 12	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → (𝜑 → ∃*𝑧𝜓))
3		moanimv 2072	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑧(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (𝜑 → ∃*𝑧𝜓))
4	2, 3	sylibr 133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → ∃*𝑧(𝜑 ∧ 𝜓))
5	4	2alimi 1432	. . 3 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → ∀𝑥∀𝑦∃*𝑧(𝜑 ∧ 𝜓))
6		funoprabg 5863	. . 3 ⊢ (∀𝑥∀𝑦∃*𝑧(𝜑 ∧ 𝜓) → Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝜑 ∧ 𝜓)})
7	5, 6	syl 14	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝜑 ∧ 𝜓)})
8		dmoprab 5845	. . 3 ⊢ dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝜑 ∧ 𝜓)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧(𝜑 ∧ 𝜓)}
9		nfa1 1521	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∃!𝑧𝜓)
10		nfa2 1558	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∃!𝑧𝜓)
11		simpl 108	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜑)
12	11	exlimiv 1577	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧(𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜑)
13		euex 2027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃!𝑧𝜓 → ∃𝑧𝜓)
14	13	imim2i 12	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → (𝜑 → ∃𝑧𝜓))
15	14	ancld 323	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → (𝜑 → (𝜑 ∧ ∃𝑧𝜓)))
16		19.42v 1878	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑧𝜓))
17	15, 16	syl6ibr 161	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → (𝜑 → ∃𝑧(𝜑 ∧ 𝜓)))
18	12, 17	impbid2 142	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → (∃𝑧(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ 𝜑))
19	18	sps 1517	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦(𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → (∃𝑧(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ 𝜑))
20	19	sps 1517	. . . 4 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → (∃𝑧(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ 𝜑))
21	9, 10, 20	opabbid 3988	. . 3 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧(𝜑 ∧ 𝜓)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑})
22	8, 21	syl5eq 2182	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝜑 ∧ 𝜓)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑})
23		df-fn 5121	. 2 ⊢ ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝜑 ∧ 𝜓)} Fn {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑} ↔ (Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝜑 ∧ 𝜓)} ∧ dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝜑 ∧ 𝜓)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}))
24	7, 22, 23	sylanbrc 413	1 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝜑 ∧ 𝜓)} Fn {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  ∀wal 1329   = wceq 1331  ∃wex 1468  ∃!weu 1997  ∃*wmo 1998  {copab 3983  dom cdm 4534  Fun wfun 5112   Fn wfn 5113  {coprab 5768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-fun 5120  df-fn 5121  df-oprab 5771

This theorem is referenced by:  fnoprab  5867  ovg  5902