ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fnovex GIF version

Theorem fnovex 5772
Description: The result of an operation is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
fnovex ((𝐹 Fn (𝐶 × 𝐷) ∧ 𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem fnovex
StepHypRef Expression
1 df-ov 5745 . 2 (𝐴𝐹𝐵) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2 opelxp 4539 . . . 4 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) ↔ (𝐴𝐶𝐵𝐷))
3 funfvex 5406 . . . . 5 ((Fun 𝐹 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
43funfni 5193 . . . 4 ((𝐹 Fn (𝐶 × 𝐷) ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷)) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
52, 4sylan2br 286 . . 3 ((𝐹 Fn (𝐶 × 𝐷) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐷)) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
653impb 1162 . 2 ((𝐹 Fn (𝐶 × 𝐷) ∧ 𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
71, 6eqeltrid 2204 1 ((𝐹 Fn (𝐶 × 𝐷) ∧ 𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 947  wcel 1465  Vcvv 2660  cop 3500   × cxp 4507   Fn wfn 5088  cfv 5093  (class class class)co 5742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-sbc 2883  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-fv 5101  df-ov 5745
This theorem is referenced by:  ovelrn  5887  mapsnen  6673  map1  6674  mapen  6708  mapdom1g  6709  mapxpen  6710  xpmapenlem  6711  fzen  9791  hashfacen  10547  topnfn  12052  topnvalg  12059  restbasg  12264  tgrest  12265  restco  12270  lmfval  12288  cnfval  12290  cnpfval  12291  cnpval  12294  txrest  12372  ismet  12440  isxmet  12441  xmetunirn  12454
  Copyright terms: Public domain W3C validator