Theorem fntp 5175

Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fntp.1	⊢ 𝐴 ∈ V
fntp.2	⊢ 𝐵 ∈ V
fntp.3	⊢ 𝐶 ∈ V
fntp.4	⊢ 𝐷 ∈ V
fntp.5	⊢ 𝐸 ∈ V
fntp.6	⊢ 𝐹 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fntp	⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩} Fn {𝐴, 𝐵, 𝐶})

Proof of Theorem fntp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fntp.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		fntp.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		fntp.3	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
4		fntp.4	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ V
5		fntp.5	. . 3 ⊢ 𝐸 ∈ V
6		fntp.6	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ V
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	funtp 5171	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → Fun {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩})
8	4, 5, 6	dmtpop 5009	. . 3 ⊢ dom {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩} = {𝐴, 𝐵, 𝐶}
9	8	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → dom {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩} = {𝐴, 𝐵, 𝐶})
10		df-fn 5121	. 2 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩} Fn {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ (Fun {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩} ∧ dom {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩} = {𝐴, 𝐵, 𝐶}))
11	7, 9, 10	sylanbrc 413	1 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩} Fn {𝐴, 𝐵, 𝐶})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2306  Vcvv 2681  {ctp 3524  ⟨cop 3525  dom cdm 4534  Fun wfun 5112   Fn wfn 5113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-tp 3530  df-op 3531  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-fun 5120  df-fn 5121

This theorem is referenced by: (None)