Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzltd GIF version

Theorem frec2uzltd 8870
 Description: Less-than relation for 𝐺 (see frec2uz0d 8866). (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1 (φ𝐶 ℤ)
frec2uz.2 𝐺 = frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)
frec2uzzd.a (φA 𝜔)
frec2uzltd.b (φB 𝜔)
Assertion
Ref Expression
frec2uzltd (φ → (A B → (𝐺A) < (𝐺B)))
Distinct variable group:   x,𝐶
Allowed substitution hints:   φ(x)   A(x)   B(x)   𝐺(x)

Proof of Theorem frec2uzltd
Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frec2uzltd.b . 2 (φB 𝜔)
2 eleq2 2098 . . . . 5 (z = ∅ → (A zA ∅))
3 fveq2 5121 . . . . . 6 (z = ∅ → (𝐺z) = (𝐺‘∅))
43breq2d 3767 . . . . 5 (z = ∅ → ((𝐺A) < (𝐺z) ↔ (𝐺A) < (𝐺‘∅)))
52, 4imbi12d 223 . . . 4 (z = ∅ → ((A z → (𝐺A) < (𝐺z)) ↔ (A ∅ → (𝐺A) < (𝐺‘∅))))
65imbi2d 219 . . 3 (z = ∅ → ((φ → (A z → (𝐺A) < (𝐺z))) ↔ (φ → (A ∅ → (𝐺A) < (𝐺‘∅)))))
7 eleq2 2098 . . . . 5 (z = y → (A zA y))
8 fveq2 5121 . . . . . 6 (z = y → (𝐺z) = (𝐺y))
98breq2d 3767 . . . . 5 (z = y → ((𝐺A) < (𝐺z) ↔ (𝐺A) < (𝐺y)))
107, 9imbi12d 223 . . . 4 (z = y → ((A z → (𝐺A) < (𝐺z)) ↔ (A y → (𝐺A) < (𝐺y))))
1110imbi2d 219 . . 3 (z = y → ((φ → (A z → (𝐺A) < (𝐺z))) ↔ (φ → (A y → (𝐺A) < (𝐺y)))))
12 eleq2 2098 . . . . 5 (z = suc y → (A zA suc y))
13 fveq2 5121 . . . . . 6 (z = suc y → (𝐺z) = (𝐺‘suc y))
1413breq2d 3767 . . . . 5 (z = suc y → ((𝐺A) < (𝐺z) ↔ (𝐺A) < (𝐺‘suc y)))
1512, 14imbi12d 223 . . . 4 (z = suc y → ((A z → (𝐺A) < (𝐺z)) ↔ (A suc y → (𝐺A) < (𝐺‘suc y))))
1615imbi2d 219 . . 3 (z = suc y → ((φ → (A z → (𝐺A) < (𝐺z))) ↔ (φ → (A suc y → (𝐺A) < (𝐺‘suc y)))))
17 eleq2 2098 . . . . 5 (z = B → (A zA B))
18 fveq2 5121 . . . . . 6 (z = B → (𝐺z) = (𝐺B))
1918breq2d 3767 . . . . 5 (z = B → ((𝐺A) < (𝐺z) ↔ (𝐺A) < (𝐺B)))
2017, 19imbi12d 223 . . . 4 (z = B → ((A z → (𝐺A) < (𝐺z)) ↔ (A B → (𝐺A) < (𝐺B))))
2120imbi2d 219 . . 3 (z = B → ((φ → (A z → (𝐺A) < (𝐺z))) ↔ (φ → (A B → (𝐺A) < (𝐺B)))))
22 noel 3222 . . . . 5 ¬ A
2322pm2.21i 574 . . . 4 (A ∅ → (𝐺A) < (𝐺‘∅))
2423a1i 9 . . 3 (φ → (A ∅ → (𝐺A) < (𝐺‘∅)))
25 id 19 . . . . . . 7 ((A y → (𝐺A) < (𝐺y)) → (A y → (𝐺A) < (𝐺y)))
26 fveq2 5121 . . . . . . . 8 (A = y → (𝐺A) = (𝐺y))
2726a1i 9 . . . . . . 7 ((A y → (𝐺A) < (𝐺y)) → (A = y → (𝐺A) = (𝐺y)))
2825, 27orim12d 699 . . . . . 6 ((A y → (𝐺A) < (𝐺y)) → ((A y A = y) → ((𝐺A) < (𝐺y) (𝐺A) = (𝐺y))))
29 elsuc2g 4108 . . . . . . . . 9 (y 𝜔 → (A suc y ↔ (A y A = y)))
3029bicomd 129 . . . . . . . 8 (y 𝜔 → ((A y A = y) ↔ A suc y))
3130adantr 261 . . . . . . 7 ((y 𝜔 φ) → ((A y A = y) ↔ A suc y))
32 frec2uz.1 . . . . . . . . . . 11 (φ𝐶 ℤ)
3332adantl 262 . . . . . . . . . 10 ((y 𝜔 φ) → 𝐶 ℤ)
34 frec2uz.2 . . . . . . . . . 10 𝐺 = frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)
35 simpl 102 . . . . . . . . . 10 ((y 𝜔 φ) → y 𝜔)
3633, 34, 35frec2uzsucd 8868 . . . . . . . . 9 ((y 𝜔 φ) → (𝐺‘suc y) = ((𝐺y) + 1))
3736breq2d 3767 . . . . . . . 8 ((y 𝜔 φ) → ((𝐺A) < (𝐺‘suc y) ↔ (𝐺A) < ((𝐺y) + 1)))
38 frec2uzzd.a . . . . . . . . . . 11 (φA 𝜔)
3938adantl 262 . . . . . . . . . 10 ((y 𝜔 φ) → A 𝜔)
4033, 34, 39frec2uzuzd 8869 . . . . . . . . 9 ((y 𝜔 φ) → (𝐺A) (ℤ𝐶))
4133, 34, 35frec2uzuzd 8869 . . . . . . . . 9 ((y 𝜔 φ) → (𝐺y) (ℤ𝐶))
42 eluzelz 8258 . . . . . . . . . 10 ((𝐺A) (ℤ𝐶) → (𝐺A) ℤ)
43 eluzelz 8258 . . . . . . . . . 10 ((𝐺y) (ℤ𝐶) → (𝐺y) ℤ)
44 zleltp1 8075 . . . . . . . . . 10 (((𝐺A) (𝐺y) ℤ) → ((𝐺A) ≤ (𝐺y) ↔ (𝐺A) < ((𝐺y) + 1)))
4542, 43, 44syl2an 273 . . . . . . . . 9 (((𝐺A) (ℤ𝐶) (𝐺y) (ℤ𝐶)) → ((𝐺A) ≤ (𝐺y) ↔ (𝐺A) < ((𝐺y) + 1)))
4640, 41, 45syl2anc 391 . . . . . . . 8 ((y 𝜔 φ) → ((𝐺A) ≤ (𝐺y) ↔ (𝐺A) < ((𝐺y) + 1)))
4733, 34, 39frec2uzzd 8867 . . . . . . . . 9 ((y 𝜔 φ) → (𝐺A) ℤ)
4833, 34, 35frec2uzzd 8867 . . . . . . . . 9 ((y 𝜔 φ) → (𝐺y) ℤ)
49 zleloe 8068 . . . . . . . . 9 (((𝐺A) (𝐺y) ℤ) → ((𝐺A) ≤ (𝐺y) ↔ ((𝐺A) < (𝐺y) (𝐺A) = (𝐺y))))
5047, 48, 49syl2anc 391 . . . . . . . 8 ((y 𝜔 φ) → ((𝐺A) ≤ (𝐺y) ↔ ((𝐺A) < (𝐺y) (𝐺A) = (𝐺y))))
5137, 46, 503bitr2rd 206 . . . . . . 7 ((y 𝜔 φ) → (((𝐺A) < (𝐺y) (𝐺A) = (𝐺y)) ↔ (𝐺A) < (𝐺‘suc y)))
5231, 51imbi12d 223 . . . . . 6 ((y 𝜔 φ) → (((A y A = y) → ((𝐺A) < (𝐺y) (𝐺A) = (𝐺y))) ↔ (A suc y → (𝐺A) < (𝐺‘suc y))))
5328, 52syl5ib 143 . . . . 5 ((y 𝜔 φ) → ((A y → (𝐺A) < (𝐺y)) → (A suc y → (𝐺A) < (𝐺‘suc y))))
5453ex 108 . . . 4 (y 𝜔 → (φ → ((A y → (𝐺A) < (𝐺y)) → (A suc y → (𝐺A) < (𝐺‘suc y)))))
5554a2d 23 . . 3 (y 𝜔 → ((φ → (A y → (𝐺A) < (𝐺y))) → (φ → (A suc y → (𝐺A) < (𝐺‘suc y)))))
566, 11, 16, 21, 24, 55finds 4266 . 2 (B 𝜔 → (φ → (A B → (𝐺A) < (𝐺B))))
571, 56mpcom 32 1 (φ → (A B → (𝐺A) < (𝐺B)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 628   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∅c0 3218   class class class wbr 3755   ↦ cmpt 3809  suc csuc 4068  𝜔com 4256  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455  freccfrec 5917  1c1 6712   + caddc 6714   < clt 6857   ≤ cle 6858  ℤcz 8021  ℤ≥cuz 8249 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250 This theorem is referenced by:  frec2uzlt2d  8871  frec2uzf1od  8873
 Copyright terms: Public domain W3C validator