ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzrand GIF version

Theorem frec2uzrand 10146
Description: Range of 𝐺 (see frec2uz0d 10140). (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
Assertion
Ref Expression
frec2uzrand (𝜑 → ran 𝐺 = (ℤ𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzrand
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frec2uz.1 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
2 zex 9031 . . . . . . . . . . 11 ℤ ∈ V
32mptex 5614 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) ∈ V
4 vex 2663 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ V
53, 4fvex 5409 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V
65ax-gen 1410 . . . . . . . 8 𝑧((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V
7 frecfnom 6266 . . . . . . . 8 ((∀𝑧((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
86, 7mpan 420 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℤ → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
9 frec2uz.2 . . . . . . . 8 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
109fneq1i 5187 . . . . . . 7 (𝐺 Fn ω ↔ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
118, 10sylibr 133 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐺 Fn ω)
12 fvelrnb 5437 . . . . . 6 (𝐺 Fn ω → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑧 ∈ ω (𝐺𝑧) = 𝑦))
1311, 12syl 14 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑧 ∈ ω (𝐺𝑧) = 𝑦))
14 simpl 108 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝐶 ∈ ℤ)
15 simpr 109 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧 ∈ ω)
1614, 9, 15frec2uzuzd 10143 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺𝑧) ∈ (ℤ𝐶))
17 eleq1 2180 . . . . . . 7 ((𝐺𝑧) = 𝑦 → ((𝐺𝑧) ∈ (ℤ𝐶) ↔ 𝑦 ∈ (ℤ𝐶)))
1816, 17syl5ibcom 154 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺𝑧) = 𝑦𝑦 ∈ (ℤ𝐶)))
1918rexlimdva 2526 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℤ → (∃𝑧 ∈ ω (𝐺𝑧) = 𝑦𝑦 ∈ (ℤ𝐶)))
2013, 19sylbid 149 . . . 4 (𝐶 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ran 𝐺𝑦 ∈ (ℤ𝐶)))
21 eleq1 2180 . . . . 5 (𝑤 = 𝐶 → (𝑤 ∈ ran 𝐺𝐶 ∈ ran 𝐺))
22 eleq1 2180 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 ∈ ran 𝐺𝑦 ∈ ran 𝐺))
23 eleq1 2180 . . . . 5 (𝑤 = (𝑦 + 1) → (𝑤 ∈ ran 𝐺 ↔ (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺))
24 id 19 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℤ)
2524, 9frec2uz0d 10140 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℤ → (𝐺‘∅) = 𝐶)
26 peano1 4478 . . . . . . 7 ∅ ∈ ω
27 fnfvelrn 5520 . . . . . . 7 ((𝐺 Fn ω ∧ ∅ ∈ ω) → (𝐺‘∅) ∈ ran 𝐺)
2811, 26, 27sylancl 409 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℤ → (𝐺‘∅) ∈ ran 𝐺)
2925, 28eqeltrrd 2195 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ran 𝐺)
30 eluzel2 9299 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℤ𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
3114, 9, 15frec2uzsucd 10142 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺𝑧) + 1))
32 oveq1 5749 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺𝑧) = 𝑦 → ((𝐺𝑧) + 1) = (𝑦 + 1))
3331, 32sylan9eq 2170 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → (𝐺‘suc 𝑧) = (𝑦 + 1))
34 peano2 4479 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ω → suc 𝑧 ∈ ω)
35 fnfvelrn 5520 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 Fn ω ∧ suc 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ ran 𝐺)
3611, 34, 35syl2an 287 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ ran 𝐺)
3736adantr 274 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ ran 𝐺)
3833, 37eqeltrrd 2195 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺)
3938ex 114 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺𝑧) = 𝑦 → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺))
4039rexlimdva 2526 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℤ → (∃𝑧 ∈ ω (𝐺𝑧) = 𝑦 → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺))
4113, 40sylbid 149 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ran 𝐺 → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺))
4230, 41syl 14 . . . . 5 (𝑦 ∈ (ℤ𝐶) → (𝑦 ∈ ran 𝐺 → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺))
4321, 22, 23, 22, 29, 42uzind4 9351 . . . 4 (𝑦 ∈ (ℤ𝐶) → 𝑦 ∈ ran 𝐺)
4420, 43impbid1 141 . . 3 (𝐶 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ran 𝐺𝑦 ∈ (ℤ𝐶)))
4544eqrdv 2115 . 2 (𝐶 ∈ ℤ → ran 𝐺 = (ℤ𝐶))
461, 45syl 14 1 (𝜑 → ran 𝐺 = (ℤ𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wal 1314   = wceq 1316  wcel 1465  wrex 2394  Vcvv 2660  c0 3333  cmpt 3959  suc csuc 4257  ωcom 4474  ran crn 4510   Fn wfn 5088  cfv 5093  (class class class)co 5742  freccfrec 6255  1c1 7589   + caddc 7591  cz 9022  cuz 9294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-recs 6170  df-frec 6256  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295
This theorem is referenced by:  frec2uzf1od  10147
  Copyright terms: Public domain W3C validator