Theorem frec2uzuzd 9561

Description: The value 𝐺 (see frec2uz0d 9558) at an ordinal natural number is in the upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frec2uzzd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)

Assertion

Ref	Expression
frec2uzuzd	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzuzd

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uzzd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)
2		simpr 108	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 = 𝐴)
3	2	eleq1d 2151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐴) → (𝑦 ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ω))
4	2	fveq2d 5235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐴) → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝐴))
5	4	eleq1d 2151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐴) → ((𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
6	3, 5	imbi12d 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐴) → ((𝑦 ∈ ω → (𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶)) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶))))
7		fveq2 5231	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘∅))
8	7	eleq1d 2151	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺‘∅) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
9		fveq2 5231	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧))
10	9	eleq1d 2151	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
11		fveq2 5231	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘suc 𝑧))
12	11	eleq1d 2151	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → ((𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺‘suc 𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
13		frec2uz.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
14		frec2uz.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
15	13, 14	frec2uz0d 9558	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) = 𝐶)
16		uzid 8791	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐶))
17	13, 16	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐶))
18	15, 17	eqeltrd 2159	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
19		peano2uz 8829	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → ((𝐺‘𝑧) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
20	13	adantl 271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝜑) → 𝐶 ∈ ℤ)
21		simpl 107	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝜑) → 𝑧 ∈ ω)
22	20, 14, 21	frec2uzsucd 9560	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺‘𝑧) + 1))
23	22	eleq1d 2151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝜑) → ((𝐺‘suc 𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ ((𝐺‘𝑧) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
24	19, 23	syl5ibr 154	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝜑) → ((𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
25	24	ex 113	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝜑 → ((𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶))))
26	8, 10, 12, 18, 25	finds2 4371	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝜑 → (𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
27	26	com12 30	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ω → (𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
28	1, 6, 27	vtocld 2661	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
29	1, 28	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  ∅c0 3268   ↦ cmpt 3860  suc csuc 4149  ωcom 4360  ‘cfv 4953  (class class class)co 5565  freccfrec 6061  1c1 7121   + caddc 7123  ℤcz 8509  ℤ_≥cuz 8777

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-iinf 4358  ax-cnex 7206  ax-resscn 7207  ax-1cn 7208  ax-1re 7209  ax-icn 7210  ax-addcl 7211  ax-addrcl 7212  ax-mulcl 7213  ax-addcom 7215  ax-addass 7217  ax-distr 7219  ax-i2m1 7220  ax-0lt1 7221  ax-0id 7223  ax-rnegex 7224  ax-cnre 7226  ax-pre-ltirr 7227  ax-pre-ltwlin 7228  ax-pre-lttrn 7229  ax-pre-ltadd 7231

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-tr 3897  df-id 4077  df-iord 4150  df-on 4152  df-ilim 4153  df-suc 4155  df-iom 4361  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-fv 4961  df-riota 5521  df-ov 5568  df-oprab 5569  df-mpt2 5570  df-recs 5976  df-frec 6062  df-pnf 7294  df-mnf 7295  df-xr 7296  df-ltxr 7297  df-le 7298  df-sub 7425  df-neg 7426  df-inn 8184  df-n0 8433  df-z 8510  df-uz 8778

This theorem is referenced by:  frec2uzltd  9562  frec2uzrand  9564  frec2uzrdg  9568  frecuzrdgsuc  9573  hashcl  9882