ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzuzd GIF version

Theorem frec2uzuzd 9561
Description: The value 𝐺 (see frec2uz0d 9558) at an ordinal natural number is in the upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frec2uzzd.a (𝜑𝐴 ∈ ω)
Assertion
Ref Expression
frec2uzuzd (𝜑 → (𝐺𝐴) ∈ (ℤ𝐶))
Distinct variable group:   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzuzd
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frec2uzzd.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ω)
2 simpr 108 . . . . 5 ((𝜑𝑦 = 𝐴) → 𝑦 = 𝐴)
32eleq1d 2151 . . . 4 ((𝜑𝑦 = 𝐴) → (𝑦 ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ω))
42fveq2d 5235 . . . . 5 ((𝜑𝑦 = 𝐴) → (𝐺𝑦) = (𝐺𝐴))
54eleq1d 2151 . . . 4 ((𝜑𝑦 = 𝐴) → ((𝐺𝑦) ∈ (ℤ𝐶) ↔ (𝐺𝐴) ∈ (ℤ𝐶)))
63, 5imbi12d 232 . . 3 ((𝜑𝑦 = 𝐴) → ((𝑦 ∈ ω → (𝐺𝑦) ∈ (ℤ𝐶)) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐺𝐴) ∈ (ℤ𝐶))))
7 fveq2 5231 . . . . . 6 (𝑦 = ∅ → (𝐺𝑦) = (𝐺‘∅))
87eleq1d 2151 . . . . 5 (𝑦 = ∅ → ((𝐺𝑦) ∈ (ℤ𝐶) ↔ (𝐺‘∅) ∈ (ℤ𝐶)))
9 fveq2 5231 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧))
109eleq1d 2151 . . . . 5 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺𝑦) ∈ (ℤ𝐶) ↔ (𝐺𝑧) ∈ (ℤ𝐶)))
11 fveq2 5231 . . . . . 6 (𝑦 = suc 𝑧 → (𝐺𝑦) = (𝐺‘suc 𝑧))
1211eleq1d 2151 . . . . 5 (𝑦 = suc 𝑧 → ((𝐺𝑦) ∈ (ℤ𝐶) ↔ (𝐺‘suc 𝑧) ∈ (ℤ𝐶)))
13 frec2uz.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
14 frec2uz.2 . . . . . . 7 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
1513, 14frec2uz0d 9558 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺‘∅) = 𝐶)
16 uzid 8791 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ (ℤ𝐶))
1713, 16syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (ℤ𝐶))
1815, 17eqeltrd 2159 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺‘∅) ∈ (ℤ𝐶))
19 peano2uz 8829 . . . . . . 7 ((𝐺𝑧) ∈ (ℤ𝐶) → ((𝐺𝑧) + 1) ∈ (ℤ𝐶))
2013adantl 271 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝜑) → 𝐶 ∈ ℤ)
21 simpl 107 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝜑) → 𝑧 ∈ ω)
2220, 14, 21frec2uzsucd 9560 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺𝑧) + 1))
2322eleq1d 2151 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝜑) → ((𝐺‘suc 𝑧) ∈ (ℤ𝐶) ↔ ((𝐺𝑧) + 1) ∈ (ℤ𝐶)))
2419, 23syl5ibr 154 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝜑) → ((𝐺𝑧) ∈ (ℤ𝐶) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ (ℤ𝐶)))
2524ex 113 . . . . 5 (𝑧 ∈ ω → (𝜑 → ((𝐺𝑧) ∈ (ℤ𝐶) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ (ℤ𝐶))))
268, 10, 12, 18, 25finds2 4371 . . . 4 (𝑦 ∈ ω → (𝜑 → (𝐺𝑦) ∈ (ℤ𝐶)))
2726com12 30 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ ω → (𝐺𝑦) ∈ (ℤ𝐶)))
281, 6, 27vtocld 2661 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ ω → (𝐺𝐴) ∈ (ℤ𝐶)))
291, 28mpd 13 1 (𝜑 → (𝐺𝐴) ∈ (ℤ𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1285  wcel 1434  c0 3268  cmpt 3860  suc csuc 4149  ωcom 4360  cfv 4953  (class class class)co 5565  freccfrec 6061  1c1 7121   + caddc 7123  cz 8509  cuz 8777
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-iinf 4358  ax-cnex 7206  ax-resscn 7207  ax-1cn 7208  ax-1re 7209  ax-icn 7210  ax-addcl 7211  ax-addrcl 7212  ax-mulcl 7213  ax-addcom 7215  ax-addass 7217  ax-distr 7219  ax-i2m1 7220  ax-0lt1 7221  ax-0id 7223  ax-rnegex 7224  ax-cnre 7226  ax-pre-ltirr 7227  ax-pre-ltwlin 7228  ax-pre-lttrn 7229  ax-pre-ltadd 7231
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-tr 3897  df-id 4077  df-iord 4150  df-on 4152  df-ilim 4153  df-suc 4155  df-iom 4361  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-fv 4961  df-riota 5521  df-ov 5568  df-oprab 5569  df-mpt2 5570  df-recs 5976  df-frec 6062  df-pnf 7294  df-mnf 7295  df-xr 7296  df-ltxr 7297  df-le 7298  df-sub 7425  df-neg 7426  df-inn 8184  df-n0 8433  df-z 8510  df-uz 8778
This theorem is referenced by:  frec2uzltd  9562  frec2uzrand  9564  frec2uzrdg  9568  frecuzrdgsuc  9573  hashcl  9882
  Copyright terms: Public domain W3C validator