ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzuzd GIF version

Theorem frec2uzuzd 9028
Description: The value 𝐺 (see frec2uz0d 9025) at an ordinal natural number is in the upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frec2uzzd.a (𝜑𝐴 ∈ ω)
Assertion
Ref Expression
frec2uzuzd (𝜑 → (𝐺𝐴) ∈ (ℤ𝐶))
Distinct variable group:   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzuzd
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frec2uzzd.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ω)
2 simpr 103 . . . . 5 ((𝜑𝑦 = 𝐴) → 𝑦 = 𝐴)
32eleq1d 2106 . . . 4 ((𝜑𝑦 = 𝐴) → (𝑦 ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ω))
42fveq2d 5143 . . . . 5 ((𝜑𝑦 = 𝐴) → (𝐺𝑦) = (𝐺𝐴))
54eleq1d 2106 . . . 4 ((𝜑𝑦 = 𝐴) → ((𝐺𝑦) ∈ (ℤ𝐶) ↔ (𝐺𝐴) ∈ (ℤ𝐶)))
63, 5imbi12d 223 . . 3 ((𝜑𝑦 = 𝐴) → ((𝑦 ∈ ω → (𝐺𝑦) ∈ (ℤ𝐶)) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐺𝐴) ∈ (ℤ𝐶))))
7 fveq2 5139 . . . . . 6 (𝑦 = ∅ → (𝐺𝑦) = (𝐺‘∅))
87eleq1d 2106 . . . . 5 (𝑦 = ∅ → ((𝐺𝑦) ∈ (ℤ𝐶) ↔ (𝐺‘∅) ∈ (ℤ𝐶)))
9 fveq2 5139 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧))
109eleq1d 2106 . . . . 5 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺𝑦) ∈ (ℤ𝐶) ↔ (𝐺𝑧) ∈ (ℤ𝐶)))
11 fveq2 5139 . . . . . 6 (𝑦 = suc 𝑧 → (𝐺𝑦) = (𝐺‘suc 𝑧))
1211eleq1d 2106 . . . . 5 (𝑦 = suc 𝑧 → ((𝐺𝑦) ∈ (ℤ𝐶) ↔ (𝐺‘suc 𝑧) ∈ (ℤ𝐶)))
13 frec2uz.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
14 frec2uz.2 . . . . . . 7 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
1513, 14frec2uz0d 9025 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺‘∅) = 𝐶)
16 uzid 8421 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ (ℤ𝐶))
1713, 16syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (ℤ𝐶))
1815, 17eqeltrd 2114 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺‘∅) ∈ (ℤ𝐶))
19 peano2uz 8460 . . . . . . 7 ((𝐺𝑧) ∈ (ℤ𝐶) → ((𝐺𝑧) + 1) ∈ (ℤ𝐶))
2013adantl 262 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝜑) → 𝐶 ∈ ℤ)
21 simpl 102 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝜑) → 𝑧 ∈ ω)
2220, 14, 21frec2uzsucd 9027 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺𝑧) + 1))
2322eleq1d 2106 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝜑) → ((𝐺‘suc 𝑧) ∈ (ℤ𝐶) ↔ ((𝐺𝑧) + 1) ∈ (ℤ𝐶)))
2419, 23syl5ibr 145 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝜑) → ((𝐺𝑧) ∈ (ℤ𝐶) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ (ℤ𝐶)))
2524ex 108 . . . . 5 (𝑧 ∈ ω → (𝜑 → ((𝐺𝑧) ∈ (ℤ𝐶) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ (ℤ𝐶))))
268, 10, 12, 18, 25finds2 4285 . . . 4 (𝑦 ∈ ω → (𝜑 → (𝐺𝑦) ∈ (ℤ𝐶)))
2726com12 27 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ ω → (𝐺𝑦) ∈ (ℤ𝐶)))
281, 6, 27vtocld 2603 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ ω → (𝐺𝐴) ∈ (ℤ𝐶)))
291, 28mpd 13 1 (𝜑 → (𝐺𝐴) ∈ (ℤ𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97   = wceq 1243  wcel 1393  c0 3221  cmpt 3814  suc csuc 4073  ωcom 4274  cfv 4863  (class class class)co 5473  freccfrec 5938  1c1 6833   + caddc 6835  cz 8179  cuz 8407
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3868  ax-sep 3871  ax-nul 3879  ax-pow 3923  ax-pr 3940  ax-un 4141  ax-setind 4230  ax-iinf 4272  ax-cnex 6918  ax-resscn 6919  ax-1cn 6920  ax-1re 6921  ax-icn 6922  ax-addcl 6923  ax-addrcl 6924  ax-mulcl 6925  ax-addcom 6927  ax-addass 6929  ax-distr 6931  ax-i2m1 6932  ax-0id 6935  ax-rnegex 6936  ax-cnre 6938  ax-pre-ltirr 6939  ax-pre-ltwlin 6940  ax-pre-lttrn 6941  ax-pre-ltadd 6943
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3577  df-int 3612  df-iun 3655  df-br 3761  df-opab 3815  df-mpt 3816  df-tr 3851  df-eprel 4022  df-id 4026  df-po 4029  df-iso 4030  df-iord 4074  df-on 4076  df-suc 4079  df-iom 4275  df-xp 4312  df-rel 4313  df-cnv 4314  df-co 4315  df-dm 4316  df-rn 4317  df-res 4318  df-ima 4319  df-iota 4828  df-fun 4865  df-fn 4866  df-f 4867  df-f1 4868  df-fo 4869  df-f1o 4870  df-fv 4871  df-riota 5429  df-ov 5476  df-oprab 5477  df-mpt2 5478  df-1st 5728  df-2nd 5729  df-recs 5881  df-irdg 5918  df-frec 5939  df-1o 5962  df-2o 5963  df-oadd 5966  df-omul 5967  df-er 6065  df-ec 6067  df-qs 6071  df-ni 6345  df-pli 6346  df-mi 6347  df-lti 6348  df-plpq 6385  df-mpq 6386  df-enq 6388  df-nqqs 6389  df-plqqs 6390  df-mqqs 6391  df-1nqqs 6392  df-rq 6393  df-ltnqqs 6394  df-enq0 6465  df-nq0 6466  df-0nq0 6467  df-plq0 6468  df-mq0 6469  df-inp 6507  df-i1p 6508  df-iplp 6509  df-iltp 6511  df-enr 6754  df-nr 6755  df-ltr 6758  df-0r 6759  df-1r 6760  df-0 6839  df-1 6840  df-r 6842  df-lt 6845  df-pnf 7004  df-mnf 7005  df-xr 7006  df-ltxr 7007  df-le 7008  df-sub 7126  df-neg 7127  df-inn 7853  df-n0 8116  df-z 8180  df-uz 8408
This theorem is referenced by:  frec2uzltd  9029  frec2uzrand  9031  frec2uzrdg  9035  frecuzrdgsuc  9041
  Copyright terms: Public domain W3C validator