Theorem frec2uzuzd 8869

Description: The value 𝐺 (see frec2uz0d 8866) at an ordinal natural number is in the upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	⊢ (φ → 𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2	⊢ 𝐺 = frec((x ∈ ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)
frec2uzzd.a	⊢ (φ → A ∈ 𝜔)

Assertion

Ref	Expression
frec2uzuzd	⊢ (φ → (𝐺‘A) ∈ (ℤ≥‘𝐶))

Distinct variable group:   x,𝐶

Allowed substitution hints:   φ(x)   A(x)   𝐺(x)

Proof of Theorem frec2uzuzd

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uzzd.a	. 2 ⊢ (φ → A ∈ 𝜔)
2		simpr 103	. . . . 5 ⊢ ((φ ∧ y = A) → y = A)
3	2	eleq1d 2103	. . . 4 ⊢ ((φ ∧ y = A) → (y ∈ 𝜔 ↔ A ∈ 𝜔))
4	2	fveq2d 5125	. . . . 5 ⊢ ((φ ∧ y = A) → (𝐺‘y) = (𝐺‘A))
5	4	eleq1d 2103	. . . 4 ⊢ ((φ ∧ y = A) → ((𝐺‘y) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺‘A) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
6	3, 5	imbi12d 223	. . 3 ⊢ ((φ ∧ y = A) → ((y ∈ 𝜔 → (𝐺‘y) ∈ (ℤ≥‘𝐶)) ↔ (A ∈ 𝜔 → (𝐺‘A) ∈ (ℤ≥‘𝐶))))
7		fveq2 5121	. . . . . 6 ⊢ (y = ∅ → (𝐺‘y) = (𝐺‘∅))
8	7	eleq1d 2103	. . . . 5 ⊢ (y = ∅ → ((𝐺‘y) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺‘∅) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
9		fveq2 5121	. . . . . 6 ⊢ (y = z → (𝐺‘y) = (𝐺‘z))
10	9	eleq1d 2103	. . . . 5 ⊢ (y = z → ((𝐺‘y) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺‘z) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
11		fveq2 5121	. . . . . 6 ⊢ (y = suc z → (𝐺‘y) = (𝐺‘suc z))
12	11	eleq1d 2103	. . . . 5 ⊢ (y = suc z → ((𝐺‘y) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺‘suc z) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
13		frec2uz.1	. . . . . . 7 ⊢ (φ → 𝐶 ∈ ℤ)
14		frec2uz.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = frec((x ∈ ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)
15	13, 14	frec2uz0d 8866	. . . . . 6 ⊢ (φ → (𝐺‘∅) = 𝐶)
16		uzid 8263	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐶))
17	13, 16	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (φ → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐶))
18	15, 17	eqeltrd 2111	. . . . 5 ⊢ (φ → (𝐺‘∅) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
19		peano2uz 8302	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺‘z) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → ((𝐺‘z) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
20	13	adantl 262	. . . . . . . . 9 ⊢ ((z ∈ 𝜔 ∧ φ) → 𝐶 ∈ ℤ)
21		simpl 102	. . . . . . . . 9 ⊢ ((z ∈ 𝜔 ∧ φ) → z ∈ 𝜔)
22	20, 14, 21	frec2uzsucd 8868	. . . . . . . 8 ⊢ ((z ∈ 𝜔 ∧ φ) → (𝐺‘suc z) = ((𝐺‘z) + 1))
23	22	eleq1d 2103	. . . . . . 7 ⊢ ((z ∈ 𝜔 ∧ φ) → ((𝐺‘suc z) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ ((𝐺‘z) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
24	19, 23	syl5ibr 145	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ 𝜔 ∧ φ) → ((𝐺‘z) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘suc z) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
25	24	ex 108	. . . . 5 ⊢ (z ∈ 𝜔 → (φ → ((𝐺‘z) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘suc z) ∈ (ℤ≥‘𝐶))))
26	8, 10, 12, 18, 25	finds2 4267	. . . 4 ⊢ (y ∈ 𝜔 → (φ → (𝐺‘y) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
27	26	com12 27	. . 3 ⊢ (φ → (y ∈ 𝜔 → (𝐺‘y) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
28	1, 6, 27	vtocld 2600	. 2 ⊢ (φ → (A ∈ 𝜔 → (𝐺‘A) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
29	1, 28	mpd 13	1 ⊢ (φ → (𝐺‘A) ∈ (ℤ≥‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∅c0 3218   ↦ cmpt 3809  suc csuc 4068  𝜔com 4256  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455  freccfrec 5917  1c1 6712   + caddc 6714  ℤcz 8021  ℤ_≥cuz 8249

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250

This theorem is referenced by:  frec2uzltd  8870  frec2uzrand  8872  frec2uzrdg  8876  frecuzrdgsuc  8882