Theorem freccl 6293

Description: Closure for finite recursion. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
freccl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
freccl.cl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑆)
freccl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ω)

Assertion

Ref	Expression
freccl	⊢ (𝜑 → (frec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑧   𝑧,𝑆   𝑧,𝐹   𝑧,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑧)

Proof of Theorem freccl

Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		freccl.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
2		freccl.cl	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑆)
3		freccl.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ω)
4		eqid 2137	. 2 ⊢ recs((𝑔 ∈ V ↦ {𝑥 ∣ (∃𝑚 ∈ ω (dom 𝑔 = suc 𝑚 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘(𝑔‘𝑚))) ∨ (dom 𝑔 = ∅ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))})) = recs((𝑔 ∈ V ↦ {𝑥 ∣ (∃𝑚 ∈ ω (dom 𝑔 = suc 𝑚 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘(𝑔‘𝑚))) ∨ (dom 𝑔 = ∅ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))}))
5	1, 2, 3, 4	freccllem 6292	1 ⊢ (𝜑 → (frec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 697   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  {cab 2123  ∃wrex 2415  Vcvv 2681  ∅c0 3358   ↦ cmpt 3984  suc csuc 4282  ωcom 4499  dom cdm 4534  ‘cfv 5118  recscrecs 6194  freccfrec 6280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-recs 6195  df-frec 6281

This theorem is referenced by:  frec2uzzd  10166  frecuzrdgrrn  10174