Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecfzen2 GIF version

Theorem frecfzen2 8885
 Description: The cardinality of a finite set of sequential integers with arbitrary endpoints. (Contributed by Jim Kingdon, 18-May-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
frecfzennn.1 𝐺 = frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 0)
Assertion
Ref Expression
frecfzen2 (𝑁 (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))

Proof of Theorem frecfzen2
StepHypRef Expression
1 eluzel2 8254 . . . 4 (𝑁 (ℤ𝑀) → 𝑀 ℤ)
2 eluzelz 8258 . . . 4 (𝑁 (ℤ𝑀) → 𝑁 ℤ)
3 1z 8047 . . . . 5 1
4 zsubcl 8062 . . . . 5 ((1 𝑀 ℤ) → (1 − 𝑀) ℤ)
53, 1, 4sylancr 393 . . . 4 (𝑁 (ℤ𝑀) → (1 − 𝑀) ℤ)
6 fzen 8677 . . . 4 ((𝑀 𝑁 (1 − 𝑀) ℤ) → (𝑀...𝑁) ≈ ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))))
71, 2, 5, 6syl3anc 1134 . . 3 (𝑁 (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))))
81zcnd 8137 . . . . 5 (𝑁 (ℤ𝑀) → 𝑀 ℂ)
9 ax-1cn 6776 . . . . 5 1
10 pncan3 7016 . . . . 5 ((𝑀 1 ℂ) → (𝑀 + (1 − 𝑀)) = 1)
118, 9, 10sylancl 392 . . . 4 (𝑁 (ℤ𝑀) → (𝑀 + (1 − 𝑀)) = 1)
12 zcn 8026 . . . . . . 7 (𝑁 ℤ → 𝑁 ℂ)
13 zcn 8026 . . . . . . 7 (𝑀 ℤ → 𝑀 ℂ)
14 addsubass 7018 . . . . . . . 8 ((𝑁 1 𝑀 ℂ) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) = (𝑁 + (1 − 𝑀)))
159, 14mp3an2 1219 . . . . . . 7 ((𝑁 𝑀 ℂ) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) = (𝑁 + (1 − 𝑀)))
1612, 13, 15syl2an 273 . . . . . 6 ((𝑁 𝑀 ℤ) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) = (𝑁 + (1 − 𝑀)))
172, 1, 16syl2anc 391 . . . . 5 (𝑁 (ℤ𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) = (𝑁 + (1 − 𝑀)))
1817eqcomd 2042 . . . 4 (𝑁 (ℤ𝑀) → (𝑁 + (1 − 𝑀)) = ((𝑁 + 1) − 𝑀))
1911, 18oveq12d 5473 . . 3 (𝑁 (ℤ𝑀) → ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) = (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)))
207, 19breqtrd 3779 . 2 (𝑁 (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)))
21 peano2uz 8302 . . 3 (𝑁 (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) (ℤ𝑀))
22 uznn0sub 8280 . . 3 ((𝑁 + 1) (ℤ𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) 0)
23 frecfzennn.1 . . . 4 𝐺 = frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 0)
2423frecfzennn 8884 . . 3 (((𝑁 + 1) − 𝑀) 0 → (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)) ≈ (𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
2521, 22, 243syl 17 . 2 (𝑁 (ℤ𝑀) → (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)) ≈ (𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
26 entr 6200 . 2 (((𝑀...𝑁) ≈ (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)) (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)) ≈ (𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀))) → (𝑀...𝑁) ≈ (𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
2720, 25, 26syl2anc 391 1 (𝑁 (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755   ↦ cmpt 3809  ◡ccnv 4287  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455  freccfrec 5917   ≈ cen 6155  ℂcc 6709  0cc0 6711  1c1 6712   + caddc 6714   − cmin 6979  ℕ0cn0 7957  ℤcz 8021  ℤ≥cuz 8249  ...cfz 8644 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-en 6158  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645 This theorem is referenced by:  fzfig  8887
 Copyright terms: Public domain W3C validator