Theorem frechashgf1o 10201

Description: 𝐺 maps ω one-to-one onto ℕ₀. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
frecfzennn.1	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)

Assertion

Ref	Expression
frechashgf1o	⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0

Proof of Theorem frechashgf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 9066	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℤ)
2		frecfzennn.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
3	1, 2	frec2uzf1od 10179	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0))
4	3	mptru 1340	. 2 ⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0)
5		nn0uz 9360	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
6		f1oeq3 5358	. . 3 ⊢ (ℕ0 = (ℤ≥‘0) → (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 ↔ 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0)))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 ↔ 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0))
8	4, 7	mpbir 145	1 ⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0

Syntax hints:   ↔ wb 104   = wceq 1331  ⊤wtru 1332   ↦ cmpt 3989  ωcom 4504  –1-1-onto→wf1o 5122  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  freccfrec 6287  0cc0 7620  1c1 7621   + caddc 7623  ℕ₀cn0 8977  ℤcz 9054  ℤ_≥cuz 9326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327

This theorem is referenced by:  fzfig  10203  nnenom  10207  fnn0nninf  10210  0tonninf  10212  1tonninf  10213  omgadd  10548  ennnfonelemp1  11919  ennnfonelemhdmp1  11922  ennnfonelemss  11923  ennnfonelemkh  11925  ennnfonelemhf1o  11926  ennnfonelemex  11927  ennnfonelemnn0  11935  ctinfomlemom  11940  isomninnlem  13225