ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecsuclemdm GIF version

Theorem frecsuclemdm 6016
Description: Lemma for frecsuc 6019. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
frecsuclem1.h 𝐺 = (𝑔 ∈ V ↦ {𝑥 ∣ (∃𝑚 ∈ ω (dom 𝑔 = suc 𝑚𝑥 ∈ (𝐹‘(𝑔𝑚))) ∨ (dom 𝑔 = ∅ ∧ 𝑥𝐴))})
Assertion
Ref Expression
frecsuclemdm ((∀𝑧(𝐹𝑧) ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵 ∈ ω) → dom (recs(𝐺) ↾ suc 𝐵) = suc 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔,𝑚,𝑥,𝑧   𝐵,𝑔,𝑚,𝑥,𝑧   𝑔,𝐹,𝑚,𝑥,𝑧   𝑔,𝐺,𝑚,𝑥,𝑧   𝑔,𝑉,𝑚,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑧)

Proof of Theorem frecsuclemdm
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnon 4357 . . . . 5 (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ On)
2 suceloni 4252 . . . . 5 (𝐵 ∈ On → suc 𝐵 ∈ On)
3 onss 4244 . . . . 5 (suc 𝐵 ∈ On → suc 𝐵 ⊆ On)
41, 2, 33syl 17 . . . 4 (𝐵 ∈ ω → suc 𝐵 ⊆ On)
543ad2ant3 936 . . 3 ((∀𝑧(𝐹𝑧) ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵 ∈ ω) → suc 𝐵 ⊆ On)
6 eqid 2054 . . . . . . 7 recs(𝐺) = recs(𝐺)
7 frecsuclem1.h . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑔 ∈ V ↦ {𝑥 ∣ (∃𝑚 ∈ ω (dom 𝑔 = suc 𝑚𝑥 ∈ (𝐹‘(𝑔𝑚))) ∨ (dom 𝑔 = ∅ ∧ 𝑥𝐴))})
87frectfr 6013 . . . . . . 7 ((∀𝑧(𝐹𝑧) ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → ∀𝑦(Fun 𝐺 ∧ (𝐺𝑦) ∈ V))
96, 8tfri1d 5977 . . . . . 6 ((∀𝑧(𝐹𝑧) ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → recs(𝐺) Fn On)
10 fndm 5023 . . . . . 6 (recs(𝐺) Fn On → dom recs(𝐺) = On)
119, 10syl 14 . . . . 5 ((∀𝑧(𝐹𝑧) ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → dom recs(𝐺) = On)
1211sseq2d 2998 . . . 4 ((∀𝑧(𝐹𝑧) ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (suc 𝐵 ⊆ dom recs(𝐺) ↔ suc 𝐵 ⊆ On))
13123adant3 933 . . 3 ((∀𝑧(𝐹𝑧) ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵 ∈ ω) → (suc 𝐵 ⊆ dom recs(𝐺) ↔ suc 𝐵 ⊆ On))
145, 13mpbird 160 . 2 ((∀𝑧(𝐹𝑧) ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵 ∈ ω) → suc 𝐵 ⊆ dom recs(𝐺))
15 ssdmres 4658 . 2 (suc 𝐵 ⊆ dom recs(𝐺) ↔ dom (recs(𝐺) ↾ suc 𝐵) = suc 𝐵)
1614, 15sylib 131 1 ((∀𝑧(𝐹𝑧) ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵 ∈ ω) → dom (recs(𝐺) ↾ suc 𝐵) = suc 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  wo 637  w3a 894  wal 1255   = wceq 1257  wcel 1407  {cab 2040  wrex 2322  Vcvv 2572  wss 2942  c0 3249  cmpt 3843  Oncon0 4125  suc csuc 4127  ωcom 4338  dom cdm 4370  cres 4372   Fn wfn 4922  cfv 4927  recscrecs 5947
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 552  ax-in2 553  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-13 1418  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-coll 3897  ax-sep 3900  ax-nul 3908  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-un 4195  ax-setind 4287  ax-iinf 4336
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 896  df-tru 1260  df-fal 1263  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ne 2219  df-ral 2326  df-rex 2327  df-reu 2328  df-rab 2330  df-v 2574  df-sbc 2785  df-csb 2878  df-dif 2945  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-nul 3250  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-int 3641  df-iun 3684  df-br 3790  df-opab 3844  df-mpt 3845  df-tr 3880  df-id 4055  df-iord 4128  df-on 4130  df-suc 4133  df-iom 4339  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-rn 4381  df-res 4382  df-ima 4383  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fn 4930  df-f 4931  df-f1 4932  df-fo 4933  df-f1o 4934  df-fv 4935  df-recs 5948
This theorem is referenced by:  frecsuclem3  6018
  Copyright terms: Public domain W3C validator