Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecsuclemdm GIF version

Theorem frecsuclemdm 6016
 Description: Lemma for frecsuc 6019. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
frecsuclem1.h 𝐺 = (𝑔 ∈ V ↦ {𝑥 ∣ (∃𝑚 ∈ ω (dom 𝑔 = suc 𝑚𝑥 ∈ (𝐹‘(𝑔𝑚))) ∨ (dom 𝑔 = ∅ ∧ 𝑥𝐴))})
Assertion
Ref Expression
frecsuclemdm ((∀𝑧(𝐹𝑧) ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵 ∈ ω) → dom (recs(𝐺) ↾ suc 𝐵) = suc 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔,𝑚,𝑥,𝑧   𝐵,𝑔,𝑚,𝑥,𝑧   𝑔,𝐹,𝑚,𝑥,𝑧   𝑔,𝐺,𝑚,𝑥,𝑧   𝑔,𝑉,𝑚,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑧)

Proof of Theorem frecsuclemdm
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnon 4357 . . . . 5 (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ On)
2 suceloni 4252 . . . . 5 (𝐵 ∈ On → suc 𝐵 ∈ On)
3 onss 4244 . . . . 5 (suc 𝐵 ∈ On → suc 𝐵 ⊆ On)
41, 2, 33syl 17 . . . 4 (𝐵 ∈ ω → suc 𝐵 ⊆ On)
543ad2ant3 936 . . 3 ((∀𝑧(𝐹𝑧) ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵 ∈ ω) → suc 𝐵 ⊆ On)
6 eqid 2054 . . . . . . 7 recs(𝐺) = recs(𝐺)
7 frecsuclem1.h . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑔 ∈ V ↦ {𝑥 ∣ (∃𝑚 ∈ ω (dom 𝑔 = suc 𝑚𝑥 ∈ (𝐹‘(𝑔𝑚))) ∨ (dom 𝑔 = ∅ ∧ 𝑥𝐴))})
87frectfr 6013 . . . . . . 7 ((∀𝑧(𝐹𝑧) ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → ∀𝑦(Fun 𝐺 ∧ (𝐺𝑦) ∈ V))
96, 8tfri1d 5977 . . . . . 6 ((∀𝑧(𝐹𝑧) ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → recs(𝐺) Fn On)
10 fndm 5023 . . . . . 6 (recs(𝐺) Fn On → dom recs(𝐺) = On)
119, 10syl 14 . . . . 5 ((∀𝑧(𝐹𝑧) ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → dom recs(𝐺) = On)
1211sseq2d 2998 . . . 4 ((∀𝑧(𝐹𝑧) ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (suc 𝐵 ⊆ dom recs(𝐺) ↔ suc 𝐵 ⊆ On))
13123adant3 933 . . 3 ((∀𝑧(𝐹𝑧) ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵 ∈ ω) → (suc 𝐵 ⊆ dom recs(𝐺) ↔ suc 𝐵 ⊆ On))
145, 13mpbird 160 . 2 ((∀𝑧(𝐹𝑧) ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵 ∈ ω) → suc 𝐵 ⊆ dom recs(𝐺))
15 ssdmres 4658 . 2 (suc 𝐵 ⊆ dom recs(𝐺) ↔ dom (recs(𝐺) ↾ suc 𝐵) = suc 𝐵)
1614, 15sylib 131 1 ((∀𝑧(𝐹𝑧) ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵 ∈ ω) → dom (recs(𝐺) ↾ suc 𝐵) = suc 𝐵)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 101   ↔ wb 102   ∨ wo 637   ∧ w3a 894  ∀wal 1255   = wceq 1257   ∈ wcel 1407  {cab 2040  ∃wrex 2322  Vcvv 2572   ⊆ wss 2942  ∅c0 3249   ↦ cmpt 3843  Oncon0 4125  suc csuc 4127  ωcom 4338  dom cdm 4370   ↾ cres 4372   Fn wfn 4922  ‘cfv 4927  recscrecs 5947 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 552  ax-in2 553  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-13 1418  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-coll 3897  ax-sep 3900  ax-nul 3908  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-un 4195  ax-setind 4287  ax-iinf 4336 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 896  df-tru 1260  df-fal 1263  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ne 2219  df-ral 2326  df-rex 2327  df-reu 2328  df-rab 2330  df-v 2574  df-sbc 2785  df-csb 2878  df-dif 2945  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-nul 3250  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-int 3641  df-iun 3684  df-br 3790  df-opab 3844  df-mpt 3845  df-tr 3880  df-id 4055  df-iord 4128  df-on 4130  df-suc 4133  df-iom 4339  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-rn 4381  df-res 4382  df-ima 4383  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fn 4930  df-f 4931  df-f1 4932  df-fo 4933  df-f1o 4934  df-fv 4935  df-recs 5948 This theorem is referenced by:  frecsuclem3  6018
 Copyright terms: Public domain W3C validator