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Theorem frecuzrdgsuc 8882
 Description: Successor value of a recursive definition generator on upper integers. See comment in frec2uz0d 8866 for the description of 𝐺 as the mapping from 𝜔 to (ℤ≥‘𝐶). (Contributed by Jim Kingdon, 28-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1 (φ𝐶 ℤ)
frec2uz.2 𝐺 = frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)
uzrdg.s (φ𝑆 𝑉)
uzrdg.a (φA 𝑆)
uzrdg.f ((φ (x (ℤ𝐶) y 𝑆)) → (x𝐹y) 𝑆)
uzrdg.2 𝑅 = frec((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩), ⟨𝐶, A⟩)
frecuzrdgfn.3 (φ𝑇 = ran 𝑅)
Assertion
Ref Expression
frecuzrdgsuc ((φ B (ℤ𝐶)) → (𝑇‘(B + 1)) = (B𝐹(𝑇B)))
Distinct variable groups:   y,A   x,𝐶,y   y,𝐺   x,𝐹,y   x,𝑆,y   φ,x,y   x,B,y
Allowed substitution hints:   A(x)   𝑅(x,y)   𝑇(x,y)   𝐺(x)   𝑉(x,y)

Proof of Theorem frecuzrdgsuc
Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frec2uz.1 . . . . . . 7 (φ𝐶 ℤ)
21adantr 261 . . . . . 6 ((φ B (ℤ𝐶)) → 𝐶 ℤ)
3 frec2uz.2 . . . . . 6 𝐺 = frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)
4 uzrdg.s . . . . . . 7 (φ𝑆 𝑉)
54adantr 261 . . . . . 6 ((φ B (ℤ𝐶)) → 𝑆 𝑉)
6 uzrdg.a . . . . . . 7 (φA 𝑆)
76adantr 261 . . . . . 6 ((φ B (ℤ𝐶)) → A 𝑆)
8 uzrdg.f . . . . . . 7 ((φ (x (ℤ𝐶) y 𝑆)) → (x𝐹y) 𝑆)
98adantlr 446 . . . . . 6 (((φ B (ℤ𝐶)) (x (ℤ𝐶) y 𝑆)) → (x𝐹y) 𝑆)
10 uzrdg.2 . . . . . 6 𝑅 = frec((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩), ⟨𝐶, A⟩)
11 peano2uz 8302 . . . . . . 7 (B (ℤ𝐶) → (B + 1) (ℤ𝐶))
1211adantl 262 . . . . . 6 ((φ B (ℤ𝐶)) → (B + 1) (ℤ𝐶))
132, 3, 5, 7, 9, 10, 12frecuzrdglem 8878 . . . . 5 ((φ B (ℤ𝐶)) → ⟨(B + 1), (2nd ‘(𝑅‘(𝐺‘(B + 1))))⟩ ran 𝑅)
14 frecuzrdgfn.3 . . . . . 6 (φ𝑇 = ran 𝑅)
1514adantr 261 . . . . 5 ((φ B (ℤ𝐶)) → 𝑇 = ran 𝑅)
1613, 15eleqtrrd 2114 . . . 4 ((φ B (ℤ𝐶)) → ⟨(B + 1), (2nd ‘(𝑅‘(𝐺‘(B + 1))))⟩ 𝑇)
171, 3, 4, 6, 8, 10, 14frecuzrdgfn 8879 . . . . . . 7 (φ𝑇 Fn (ℤ𝐶))
18 fnfun 4939 . . . . . . 7 (𝑇 Fn (ℤ𝐶) → Fun 𝑇)
1917, 18syl 14 . . . . . 6 (φ → Fun 𝑇)
20 funopfv 5156 . . . . . 6 (Fun 𝑇 → (⟨(B + 1), (2nd ‘(𝑅‘(𝐺‘(B + 1))))⟩ 𝑇 → (𝑇‘(B + 1)) = (2nd ‘(𝑅‘(𝐺‘(B + 1))))))
2119, 20syl 14 . . . . 5 (φ → (⟨(B + 1), (2nd ‘(𝑅‘(𝐺‘(B + 1))))⟩ 𝑇 → (𝑇‘(B + 1)) = (2nd ‘(𝑅‘(𝐺‘(B + 1))))))
2221adantr 261 . . . 4 ((φ B (ℤ𝐶)) → (⟨(B + 1), (2nd ‘(𝑅‘(𝐺‘(B + 1))))⟩ 𝑇 → (𝑇‘(B + 1)) = (2nd ‘(𝑅‘(𝐺‘(B + 1))))))
2316, 22mpd 13 . . 3 ((φ B (ℤ𝐶)) → (𝑇‘(B + 1)) = (2nd ‘(𝑅‘(𝐺‘(B + 1)))))
241, 3frec2uzf1od 8873 . . . . . . . . 9 (φ𝐺:𝜔–1-1-onto→(ℤ𝐶))
25 f1ocnvdm 5364 . . . . . . . . 9 ((𝐺:𝜔–1-1-onto→(ℤ𝐶) B (ℤ𝐶)) → (𝐺B) 𝜔)
2624, 25sylan 267 . . . . . . . 8 ((φ B (ℤ𝐶)) → (𝐺B) 𝜔)
272, 3, 26frec2uzsucd 8868 . . . . . . 7 ((φ B (ℤ𝐶)) → (𝐺‘suc (𝐺B)) = ((𝐺‘(𝐺B)) + 1))
28 f1ocnvfv2 5361 . . . . . . . . 9 ((𝐺:𝜔–1-1-onto→(ℤ𝐶) B (ℤ𝐶)) → (𝐺‘(𝐺B)) = B)
2924, 28sylan 267 . . . . . . . 8 ((φ B (ℤ𝐶)) → (𝐺‘(𝐺B)) = B)
3029oveq1d 5470 . . . . . . 7 ((φ B (ℤ𝐶)) → ((𝐺‘(𝐺B)) + 1) = (B + 1))
3127, 30eqtrd 2069 . . . . . 6 ((φ B (ℤ𝐶)) → (𝐺‘suc (𝐺B)) = (B + 1))
32 peano2 4261 . . . . . . . 8 ((𝐺B) 𝜔 → suc (𝐺B) 𝜔)
3326, 32syl 14 . . . . . . 7 ((φ B (ℤ𝐶)) → suc (𝐺B) 𝜔)
34 f1ocnvfv 5362 . . . . . . . 8 ((𝐺:𝜔–1-1-onto→(ℤ𝐶) suc (𝐺B) 𝜔) → ((𝐺‘suc (𝐺B)) = (B + 1) → (𝐺‘(B + 1)) = suc (𝐺B)))
3524, 34sylan 267 . . . . . . 7 ((φ suc (𝐺B) 𝜔) → ((𝐺‘suc (𝐺B)) = (B + 1) → (𝐺‘(B + 1)) = suc (𝐺B)))
3633, 35syldan 266 . . . . . 6 ((φ B (ℤ𝐶)) → ((𝐺‘suc (𝐺B)) = (B + 1) → (𝐺‘(B + 1)) = suc (𝐺B)))
3731, 36mpd 13 . . . . 5 ((φ B (ℤ𝐶)) → (𝐺‘(B + 1)) = suc (𝐺B))
3837fveq2d 5125 . . . 4 ((φ B (ℤ𝐶)) → (𝑅‘(𝐺‘(B + 1))) = (𝑅‘suc (𝐺B)))
3938fveq2d 5125 . . 3 ((φ B (ℤ𝐶)) → (2nd ‘(𝑅‘(𝐺‘(B + 1)))) = (2nd ‘(𝑅‘suc (𝐺B))))
4023, 39eqtrd 2069 . 2 ((φ B (ℤ𝐶)) → (𝑇‘(B + 1)) = (2nd ‘(𝑅‘suc (𝐺B))))
41 zex 8030 . . . . . . . . . . 11 V
42 uzssz 8268 . . . . . . . . . . 11 (ℤ𝐶) ⊆ ℤ
4341, 42ssexi 3886 . . . . . . . . . 10 (ℤ𝐶) V
44 mpt2exga 5777 . . . . . . . . . 10 (((ℤ𝐶) V 𝑆 𝑉) → (x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩) V)
4543, 44mpan 400 . . . . . . . . 9 (𝑆 𝑉 → (x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩) V)
46 vex 2554 . . . . . . . . . 10 z V
47 fvexg 5137 . . . . . . . . . 10 (((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩) V z V) → ((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩)‘z) V)
4846, 47mpan2 401 . . . . . . . . 9 ((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩) V → ((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩)‘z) V)
495, 45, 483syl 17 . . . . . . . 8 ((φ B (ℤ𝐶)) → ((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩)‘z) V)
5049alrimiv 1751 . . . . . . 7 ((φ B (ℤ𝐶)) → z((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩)‘z) V)
51 opelxp 4317 . . . . . . . . 9 (⟨𝐶, A (ℤ × 𝑆) ↔ (𝐶 A 𝑆))
521, 6, 51sylanbrc 394 . . . . . . . 8 (φ → ⟨𝐶, A (ℤ × 𝑆))
5352adantr 261 . . . . . . 7 ((φ B (ℤ𝐶)) → ⟨𝐶, A (ℤ × 𝑆))
54 frecsuc 5930 . . . . . . 7 ((z((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩)‘z) V 𝐶, A (ℤ × 𝑆) (𝐺B) 𝜔) → (frec((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩), ⟨𝐶, A⟩)‘suc (𝐺B)) = ((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩)‘(frec((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩), ⟨𝐶, A⟩)‘(𝐺B))))
5550, 53, 26, 54syl3anc 1134 . . . . . 6 ((φ B (ℤ𝐶)) → (frec((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩), ⟨𝐶, A⟩)‘suc (𝐺B)) = ((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩)‘(frec((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩), ⟨𝐶, A⟩)‘(𝐺B))))
5610fveq1i 5122 . . . . . 6 (𝑅‘suc (𝐺B)) = (frec((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩), ⟨𝐶, A⟩)‘suc (𝐺B))
5710fveq1i 5122 . . . . . . 7 (𝑅‘(𝐺B)) = (frec((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩), ⟨𝐶, A⟩)‘(𝐺B))
5857fveq2i 5124 . . . . . 6 ((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩)‘(𝑅‘(𝐺B))) = ((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩)‘(frec((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩), ⟨𝐶, A⟩)‘(𝐺B)))
5955, 56, 583eqtr4g 2094 . . . . 5 ((φ B (ℤ𝐶)) → (𝑅‘suc (𝐺B)) = ((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩)‘(𝑅‘(𝐺B))))
602, 3, 5, 7, 9, 10, 26frec2uzrdg 8876 . . . . . . 7 ((φ B (ℤ𝐶)) → (𝑅‘(𝐺B)) = ⟨(𝐺‘(𝐺B)), (2nd ‘(𝑅‘(𝐺B)))⟩)
6160fveq2d 5125 . . . . . 6 ((φ B (ℤ𝐶)) → ((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩)‘(𝑅‘(𝐺B))) = ((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩)‘⟨(𝐺‘(𝐺B)), (2nd ‘(𝑅‘(𝐺B)))⟩))
62 df-ov 5458 . . . . . 6 ((𝐺‘(𝐺B))(x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩)(2nd ‘(𝑅‘(𝐺B)))) = ((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩)‘⟨(𝐺‘(𝐺B)), (2nd ‘(𝑅‘(𝐺B)))⟩)
6361, 62syl6eqr 2087 . . . . 5 ((φ B (ℤ𝐶)) → ((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩)‘(𝑅‘(𝐺B))) = ((𝐺‘(𝐺B))(x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩)(2nd ‘(𝑅‘(𝐺B)))))
642, 3, 26frec2uzuzd 8869 . . . . . 6 ((φ B (ℤ𝐶)) → (𝐺‘(𝐺B)) (ℤ𝐶))
652, 3, 5, 7, 9, 10frecuzrdgrrn 8875 . . . . . . . 8 (((φ B (ℤ𝐶)) (𝐺B) 𝜔) → (𝑅‘(𝐺B)) ((ℤ𝐶) × 𝑆))
6626, 65mpdan 398 . . . . . . 7 ((φ B (ℤ𝐶)) → (𝑅‘(𝐺B)) ((ℤ𝐶) × 𝑆))
67 xp2nd 5735 . . . . . . 7 ((𝑅‘(𝐺B)) ((ℤ𝐶) × 𝑆) → (2nd ‘(𝑅‘(𝐺B))) 𝑆)
6866, 67syl 14 . . . . . 6 ((φ B (ℤ𝐶)) → (2nd ‘(𝑅‘(𝐺B))) 𝑆)
6930, 12eqeltrd 2111 . . . . . . 7 ((φ B (ℤ𝐶)) → ((𝐺‘(𝐺B)) + 1) (ℤ𝐶))
709caovclg 5595 . . . . . . . 8 (((φ B (ℤ𝐶)) (z (ℤ𝐶) w 𝑆)) → (z𝐹w) 𝑆)
7170, 64, 68caovcld 5596 . . . . . . 7 ((φ B (ℤ𝐶)) → ((𝐺‘(𝐺B))𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺B)))) 𝑆)
72 opexg 3955 . . . . . . 7 ((((𝐺‘(𝐺B)) + 1) (ℤ𝐶) ((𝐺‘(𝐺B))𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺B)))) 𝑆) → ⟨((𝐺‘(𝐺B)) + 1), ((𝐺‘(𝐺B))𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺B))))⟩ V)
7369, 71, 72syl2anc 391 . . . . . 6 ((φ B (ℤ𝐶)) → ⟨((𝐺‘(𝐺B)) + 1), ((𝐺‘(𝐺B))𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺B))))⟩ V)
74 oveq1 5462 . . . . . . . 8 (z = (𝐺‘(𝐺B)) → (z + 1) = ((𝐺‘(𝐺B)) + 1))
75 oveq1 5462 . . . . . . . 8 (z = (𝐺‘(𝐺B)) → (z𝐹w) = ((𝐺‘(𝐺B))𝐹w))
7674, 75opeq12d 3548 . . . . . . 7 (z = (𝐺‘(𝐺B)) → ⟨(z + 1), (z𝐹w)⟩ = ⟨((𝐺‘(𝐺B)) + 1), ((𝐺‘(𝐺B))𝐹w)⟩)
77 oveq2 5463 . . . . . . . 8 (w = (2nd ‘(𝑅‘(𝐺B))) → ((𝐺‘(𝐺B))𝐹w) = ((𝐺‘(𝐺B))𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺B)))))
7877opeq2d 3547 . . . . . . 7 (w = (2nd ‘(𝑅‘(𝐺B))) → ⟨((𝐺‘(𝐺B)) + 1), ((𝐺‘(𝐺B))𝐹w)⟩ = ⟨((𝐺‘(𝐺B)) + 1), ((𝐺‘(𝐺B))𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺B))))⟩)
79 oveq1 5462 . . . . . . . . 9 (x = z → (x + 1) = (z + 1))
80 oveq1 5462 . . . . . . . . 9 (x = z → (x𝐹y) = (z𝐹y))
8179, 80opeq12d 3548 . . . . . . . 8 (x = z → ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩ = ⟨(z + 1), (z𝐹y)⟩)
82 oveq2 5463 . . . . . . . . 9 (y = w → (z𝐹y) = (z𝐹w))
8382opeq2d 3547 . . . . . . . 8 (y = w → ⟨(z + 1), (z𝐹y)⟩ = ⟨(z + 1), (z𝐹w)⟩)
8481, 83cbvmpt2v 5526 . . . . . . 7 (x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩) = (z (ℤ𝐶), w 𝑆 ↦ ⟨(z + 1), (z𝐹w)⟩)
8576, 78, 84ovmpt2g 5577 . . . . . 6 (((𝐺‘(𝐺B)) (ℤ𝐶) (2nd ‘(𝑅‘(𝐺B))) 𝑆 ⟨((𝐺‘(𝐺B)) + 1), ((𝐺‘(𝐺B))𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺B))))⟩ V) → ((𝐺‘(𝐺B))(x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩)(2nd ‘(𝑅‘(𝐺B)))) = ⟨((𝐺‘(𝐺B)) + 1), ((𝐺‘(𝐺B))𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺B))))⟩)
8664, 68, 73, 85syl3anc 1134 . . . . 5 ((φ B (ℤ𝐶)) → ((𝐺‘(𝐺B))(x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩)(2nd ‘(𝑅‘(𝐺B)))) = ⟨((𝐺‘(𝐺B)) + 1), ((𝐺‘(𝐺B))𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺B))))⟩)
8759, 63, 863eqtrd 2073 . . . 4 ((φ B (ℤ𝐶)) → (𝑅‘suc (𝐺B)) = ⟨((𝐺‘(𝐺B)) + 1), ((𝐺‘(𝐺B))𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺B))))⟩)
8887fveq2d 5125 . . 3 ((φ B (ℤ𝐶)) → (2nd ‘(𝑅‘suc (𝐺B))) = (2nd ‘⟨((𝐺‘(𝐺B)) + 1), ((𝐺‘(𝐺B))𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺B))))⟩))
89 op2ndg 5720 . . . 4 ((((𝐺‘(𝐺B)) + 1) (ℤ𝐶) ((𝐺‘(𝐺B))𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺B)))) 𝑆) → (2nd ‘⟨((𝐺‘(𝐺B)) + 1), ((𝐺‘(𝐺B))𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺B))))⟩) = ((𝐺‘(𝐺B))𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺B)))))
9069, 71, 89syl2anc 391 . . 3 ((φ B (ℤ𝐶)) → (2nd ‘⟨((𝐺‘(𝐺B)) + 1), ((𝐺‘(𝐺B))𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺B))))⟩) = ((𝐺‘(𝐺B))𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺B)))))
9188, 90eqtrd 2069 . 2 ((φ B (ℤ𝐶)) → (2nd ‘(𝑅‘suc (𝐺B))) = ((𝐺‘(𝐺B))𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺B)))))
92 simpr 103 . . . . . . 7 ((φ B (ℤ𝐶)) → B (ℤ𝐶))
932, 3, 5, 7, 9, 10, 92frecuzrdglem 8878 . . . . . 6 ((φ B (ℤ𝐶)) → ⟨B, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺B)))⟩ ran 𝑅)
9493, 15eleqtrrd 2114 . . . . 5 ((φ B (ℤ𝐶)) → ⟨B, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺B)))⟩ 𝑇)
95 funopfv 5156 . . . . . . 7 (Fun 𝑇 → (⟨B, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺B)))⟩ 𝑇 → (𝑇B) = (2nd ‘(𝑅‘(𝐺B)))))
9619, 95syl 14 . . . . . 6 (φ → (⟨B, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺B)))⟩ 𝑇 → (𝑇B) = (2nd ‘(𝑅‘(𝐺B)))))
9796adantr 261 . . . . 5 ((φ B (ℤ𝐶)) → (⟨B, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺B)))⟩ 𝑇 → (𝑇B) = (2nd ‘(𝑅‘(𝐺B)))))
9894, 97mpd 13 . . . 4 ((φ B (ℤ𝐶)) → (𝑇B) = (2nd ‘(𝑅‘(𝐺B))))
9998eqcomd 2042 . . 3 ((φ B (ℤ𝐶)) → (2nd ‘(𝑅‘(𝐺B))) = (𝑇B))
10029, 99oveq12d 5473 . 2 ((φ B (ℤ𝐶)) → ((𝐺‘(𝐺B))𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺B)))) = (B𝐹(𝑇B)))
10140, 91, 1003eqtrd 2073 1 ((φ B (ℤ𝐶)) → (𝑇‘(B + 1)) = (B𝐹(𝑇B)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97  ∀wal 1240   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  Vcvv 2551  ⟨cop 3370   ↦ cmpt 3809  suc csuc 4068  𝜔com 4256   × cxp 4286  ◡ccnv 4287  ran crn 4289  Fun wfun 4839   Fn wfn 4840  –1-1-onto→wf1o 4844  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455   ↦ cmpt2 5457  2nd c2nd 5708  freccfrec 5917  1c1 6712   + caddc 6714  ℤcz 8021  ℤ≥cuz 8249 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250 This theorem is referenced by:  iseqp1  8904
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