Theorem fssres2 5295

Description: Restriction of a restricted function with a subclass of its domain. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fssres2	⊢ (((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵)

Proof of Theorem fssres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fssres 5293	. 2 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵)
2		resabs1 4843	. . . 4 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐴 → ((𝐹 ↾ 𝐴) ↾ 𝐶) = (𝐹 ↾ 𝐶))
3	2	feq1d 5254	. . 3 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐴 → (((𝐹 ↾ 𝐴) ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵 ↔ (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵))
4	3	adantl 275	. 2 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (((𝐹 ↾ 𝐴) ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵 ↔ (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵))
5	1, 4	mpbid 146	1 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ⊆ wss 3066   ↾ cres 4536  ⟶wf 5114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122

This theorem is referenced by:  frecsuclem  6296