Theorem funcnv2 5178

Description: A simpler equivalence for single-rooted (see funcnv 5179). (Contributed by NM, 9-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
funcnv2	⊢ (Fun ◡𝐴 ↔ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐴𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem funcnv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 4912	. . 3 ⊢ Rel ◡𝐴
2		dffun6 5132	. . 3 ⊢ (Fun ◡𝐴 ↔ (Rel ◡𝐴 ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑦◡𝐴𝑥))
3	1, 2	mpbiran 924	. 2 ⊢ (Fun ◡𝐴 ↔ ∀𝑦∃*𝑥 𝑦◡𝐴𝑥)
4		vex 2684	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
5		vex 2684	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
6	4, 5	brcnv 4717	. . . 4 ⊢ (𝑦◡𝐴𝑥 ↔ 𝑥𝐴𝑦)
7	6	mobii 2034	. . 3 ⊢ (∃*𝑥 𝑦◡𝐴𝑥 ↔ ∃*𝑥 𝑥𝐴𝑦)
8	7	albii 1446	. 2 ⊢ (∀𝑦∃*𝑥 𝑦◡𝐴𝑥 ↔ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐴𝑦)
9	3, 8	bitri 183	1 ⊢ (Fun ◡𝐴 ↔ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐴𝑦)

Syntax hints:   ↔ wb 104  ∀wal 1329  ∃*wmo 1998   class class class wbr 3924  ^◡ccnv 4533  Rel wrel 4539  Fun wfun 5112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-fun 5120

This theorem is referenced by:  funcnv  5179  fun2cnv  5182  fun11  5185  dff12  5322  1stconst  6111  2ndconst  6112