ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  funprg GIF version

Theorem funprg 4977
Description: A set of two pairs is a function if their first members are different. (Contributed by FL, 26-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
funprg (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩})

Proof of Theorem funprg
StepHypRef Expression
1 simp1l 939 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝑉)
2 simp2l 941 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶𝑋)
3 funsng 4974 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐶𝑋) → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩})
41, 2, 3syl2anc 397 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩})
5 simp1r 940 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝑊)
6 simp2r 942 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐷𝑌)
7 funsng 4974 . . . 4 ((𝐵𝑊𝐷𝑌) → Fun {⟨𝐵, 𝐷⟩})
85, 6, 7syl2anc 397 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → Fun {⟨𝐵, 𝐷⟩})
9 dmsnopg 4820 . . . . . 6 (𝐶𝑋 → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} = {𝐴})
102, 9syl 14 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} = {𝐴})
11 dmsnopg 4820 . . . . . 6 (𝐷𝑌 → dom {⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐵})
126, 11syl 14 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → dom {⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐵})
1310, 12ineq12d 3167 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → (dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∩ dom {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ({𝐴} ∩ {𝐵}))
14 disjsn2 3461 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
15143ad2ant3 938 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
1613, 15eqtrd 2088 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → (dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∩ dom {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ∅)
17 funun 4972 . . 3 (((Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∧ Fun {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ∧ (dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∩ dom {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ∅) → Fun ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
184, 8, 16, 17syl21anc 1145 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → Fun ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
19 df-pr 3410 . . 3 {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})
2019funeqi 4950 . 2 (Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ↔ Fun ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
2118, 20sylibr 141 1 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  w3a 896   = wceq 1259  wcel 1409  wne 2220  cun 2943  cin 2944  c0 3252  {csn 3403  {cpr 3404  cop 3406  dom cdm 4373  Fun wfun 4924
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-br 3793  df-opab 3847  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-fun 4932
This theorem is referenced by:  funtpg  4978  funpr  4979  fnprg  4982
  Copyright terms: Public domain W3C validator