ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fununi GIF version

Theorem fununi 5018
Description: The union of a chain (with respect to inclusion) of functions is a function. (Contributed by NM, 10-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
fununi (∀𝑓𝐴 (Fun 𝑓 ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → Fun 𝐴)
Distinct variable group:   𝑓,𝑔,𝐴

Proof of Theorem fununi
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funrel 4969 . . . . 5 (Fun 𝑓 → Rel 𝑓)
21adantr 270 . . . 4 ((Fun 𝑓 ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → Rel 𝑓)
32ralimi 2431 . . 3 (∀𝑓𝐴 (Fun 𝑓 ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → ∀𝑓𝐴 Rel 𝑓)
4 reluni 4508 . . 3 (Rel 𝐴 ↔ ∀𝑓𝐴 Rel 𝑓)
53, 4sylibr 132 . 2 (∀𝑓𝐴 (Fun 𝑓 ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → Rel 𝐴)
6 r19.28av 2498 . . . 4 ((Fun 𝑓 ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → ∀𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)))
76ralimi 2431 . . 3 (∀𝑓𝐴 (Fun 𝑓 ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → ∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)))
8 ssel 3002 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤𝑣 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑣))
98anim1d 329 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤𝑣 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑣 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)))
10 dffun4 4963 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Fun 𝑣 ↔ (Rel 𝑣 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑣 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧)))
1110simprbi 269 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun 𝑣 → ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑣 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧))
121119.21bbi 1492 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun 𝑣 → ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑣 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧))
131219.21bi 1491 . . . . . . . . . . . 12 (Fun 𝑣 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑣 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧))
149, 13syl9r 72 . . . . . . . . . . 11 (Fun 𝑣 → (𝑤𝑣 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧)))
1514adantl 271 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝑤 ∧ Fun 𝑣) → (𝑤𝑣 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧)))
16 ssel 3002 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣𝑤 → (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣 → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑤))
1716anim2d 330 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣𝑤 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑤)))
18 dffun4 4963 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Fun 𝑤 ↔ (Rel 𝑤 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑤) → 𝑦 = 𝑧)))
1918simprbi 269 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun 𝑤 → ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑤) → 𝑦 = 𝑧))
201919.21bbi 1492 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun 𝑤 → ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑤) → 𝑦 = 𝑧))
212019.21bi 1491 . . . . . . . . . . . 12 (Fun 𝑤 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑤) → 𝑦 = 𝑧))
2217, 21syl9r 72 . . . . . . . . . . 11 (Fun 𝑤 → (𝑣𝑤 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧)))
2322adantr 270 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝑤 ∧ Fun 𝑣) → (𝑣𝑤 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧)))
2415, 23jaod 670 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝑤 ∧ Fun 𝑣) → ((𝑤𝑣𝑣𝑤) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧)))
2524imp 122 . . . . . . . 8 (((Fun 𝑤 ∧ Fun 𝑣) ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧))
2625ralimi 2431 . . . . . . 7 (∀𝑣𝐴 ((Fun 𝑤 ∧ Fun 𝑣) ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)) → ∀𝑣𝐴 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧))
2726ralimi 2431 . . . . . 6 (∀𝑤𝐴𝑣𝐴 ((Fun 𝑤 ∧ Fun 𝑣) ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)) → ∀𝑤𝐴𝑣𝐴 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧))
28 funeq 4971 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝑤 → (Fun 𝑓 ↔ Fun 𝑤))
29 sseq1 3029 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝑤 → (𝑓𝑔𝑤𝑔))
30 sseq2 3030 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝑤 → (𝑔𝑓𝑔𝑤))
3129, 30orbi12d 740 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝑤 → ((𝑓𝑔𝑔𝑓) ↔ (𝑤𝑔𝑔𝑤)))
3228, 31anbi12d 457 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝑤 → ((Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)) ↔ (Fun 𝑤 ∧ (𝑤𝑔𝑔𝑤))))
33 sseq2 3030 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑣 → (𝑤𝑔𝑤𝑣))
34 sseq1 3029 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑣 → (𝑔𝑤𝑣𝑤))
3533, 34orbi12d 740 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝑣 → ((𝑤𝑔𝑔𝑤) ↔ (𝑤𝑣𝑣𝑤)))
3635anbi2d 452 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝑣 → ((Fun 𝑤 ∧ (𝑤𝑔𝑔𝑤)) ↔ (Fun 𝑤 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤))))
3732, 36cbvral2v 2590 . . . . . . . 8 (∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)) ↔ ∀𝑤𝐴𝑣𝐴 (Fun 𝑤 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)))
38 ralcom 2522 . . . . . . . . 9 (∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)) ↔ ∀𝑔𝐴𝑓𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)))
39 orcom 680 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓𝑔𝑔𝑓) ↔ (𝑔𝑓𝑓𝑔))
40 sseq1 3029 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝑤 → (𝑔𝑓𝑤𝑓))
41 sseq2 3030 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝑤 → (𝑓𝑔𝑓𝑤))
4240, 41orbi12d 740 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑤 → ((𝑔𝑓𝑓𝑔) ↔ (𝑤𝑓𝑓𝑤)))
4339, 42syl5bb 190 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑤 → ((𝑓𝑔𝑔𝑓) ↔ (𝑤𝑓𝑓𝑤)))
4443anbi2d 452 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝑤 → ((Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)) ↔ (Fun 𝑓 ∧ (𝑤𝑓𝑓𝑤))))
45 funeq 4971 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝑣 → (Fun 𝑓 ↔ Fun 𝑣))
46 sseq2 3030 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝑣 → (𝑤𝑓𝑤𝑣))
47 sseq1 3029 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝑣 → (𝑓𝑤𝑣𝑤))
4846, 47orbi12d 740 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝑣 → ((𝑤𝑓𝑓𝑤) ↔ (𝑤𝑣𝑣𝑤)))
4945, 48anbi12d 457 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝑣 → ((Fun 𝑓 ∧ (𝑤𝑓𝑓𝑤)) ↔ (Fun 𝑣 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤))))
5044, 49cbvral2v 2590 . . . . . . . . 9 (∀𝑔𝐴𝑓𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)) ↔ ∀𝑤𝐴𝑣𝐴 (Fun 𝑣 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)))
5138, 50bitri 182 . . . . . . . 8 (∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)) ↔ ∀𝑤𝐴𝑣𝐴 (Fun 𝑣 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)))
5237, 51anbi12i 448 . . . . . . 7 ((∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)) ∧ ∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓))) ↔ (∀𝑤𝐴𝑣𝐴 (Fun 𝑤 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑤𝐴𝑣𝐴 (Fun 𝑣 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤))))
53 anidm 388 . . . . . . 7 ((∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)) ∧ ∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓))) ↔ ∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)))
54 anandir 556 . . . . . . . . 9 (((Fun 𝑤 ∧ Fun 𝑣) ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)) ↔ ((Fun 𝑤 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)) ∧ (Fun 𝑣 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤))))
55542ralbii 2379 . . . . . . . 8 (∀𝑤𝐴𝑣𝐴 ((Fun 𝑤 ∧ Fun 𝑣) ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)) ↔ ∀𝑤𝐴𝑣𝐴 ((Fun 𝑤 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)) ∧ (Fun 𝑣 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤))))
56 r19.26-2 2491 . . . . . . . 8 (∀𝑤𝐴𝑣𝐴 ((Fun 𝑤 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)) ∧ (Fun 𝑣 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤))) ↔ (∀𝑤𝐴𝑣𝐴 (Fun 𝑤 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑤𝐴𝑣𝐴 (Fun 𝑣 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤))))
5755, 56bitr2i 183 . . . . . . 7 ((∀𝑤𝐴𝑣𝐴 (Fun 𝑤 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑤𝐴𝑣𝐴 (Fun 𝑣 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤))) ↔ ∀𝑤𝐴𝑣𝐴 ((Fun 𝑤 ∧ Fun 𝑣) ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)))
5852, 53, 573bitr3i 208 . . . . . 6 (∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)) ↔ ∀𝑤𝐴𝑣𝐴 ((Fun 𝑤 ∧ Fun 𝑣) ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)))
59 eluni 3624 . . . . . . . . . 10 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑤(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤𝑤𝐴))
60 eluni 3624 . . . . . . . . . 10 (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣𝑣𝐴))
6159, 60anbi12i 448 . . . . . . . . 9 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴) ↔ (∃𝑤(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤𝑤𝐴) ∧ ∃𝑣(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣𝑣𝐴)))
62 eeanv 1850 . . . . . . . . 9 (∃𝑤𝑣((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤𝑤𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣𝑣𝐴)) ↔ (∃𝑤(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤𝑤𝐴) ∧ ∃𝑣(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣𝑣𝐴)))
63 an4 551 . . . . . . . . . . 11 (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤𝑤𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣𝑣𝐴)) ↔ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) ∧ (𝑤𝐴𝑣𝐴)))
64 ancom 262 . . . . . . . . . . 11 (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) ∧ (𝑤𝐴𝑣𝐴)) ↔ ((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)))
6563, 64bitri 182 . . . . . . . . . 10 (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤𝑤𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣𝑣𝐴)) ↔ ((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)))
66652exbii 1538 . . . . . . . . 9 (∃𝑤𝑣((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤𝑤𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣𝑣𝐴)) ↔ ∃𝑤𝑣((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)))
6761, 62, 663bitr2i 206 . . . . . . . 8 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑤𝑣((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)))
6867imbi1i 236 . . . . . . 7 (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴) → 𝑦 = 𝑧) ↔ (∃𝑤𝑣((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)) → 𝑦 = 𝑧))
69 19.23v 1806 . . . . . . 7 (∀𝑤(∃𝑣((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)) → 𝑦 = 𝑧) ↔ (∃𝑤𝑣((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)) → 𝑦 = 𝑧))
70 r2al 2390 . . . . . . . 8 (∀𝑤𝐴𝑣𝐴 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∀𝑤𝑣((𝑤𝐴𝑣𝐴) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧)))
71 impexp 259 . . . . . . . . 9 ((((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ((𝑤𝐴𝑣𝐴) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧)))
72712albii 1401 . . . . . . . 8 (∀𝑤𝑣(((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∀𝑤𝑣((𝑤𝐴𝑣𝐴) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧)))
73 19.23v 1806 . . . . . . . . 9 (∀𝑣(((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)) → 𝑦 = 𝑧) ↔ (∃𝑣((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)) → 𝑦 = 𝑧))
7473albii 1400 . . . . . . . 8 (∀𝑤𝑣(((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∀𝑤(∃𝑣((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)) → 𝑦 = 𝑧))
7570, 72, 743bitr2ri 207 . . . . . . 7 (∀𝑤(∃𝑣((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∀𝑤𝐴𝑣𝐴 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧))
7668, 69, 753bitr2i 206 . . . . . 6 (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∀𝑤𝐴𝑣𝐴 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧))
7727, 58, 763imtr4i 199 . . . . 5 (∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴) → 𝑦 = 𝑧))
7877alrimiv 1797 . . . 4 (∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴) → 𝑦 = 𝑧))
7978alrimivv 1798 . . 3 (∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴) → 𝑦 = 𝑧))
807, 79syl 14 . 2 (∀𝑓𝐴 (Fun 𝑓 ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴) → 𝑦 = 𝑧))
81 dffun4 4963 . 2 (Fun 𝐴 ↔ (Rel 𝐴 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴) → 𝑦 = 𝑧)))
825, 80, 81sylanbrc 408 1 (∀𝑓𝐴 (Fun 𝑓 ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → Fun 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wo 662  wal 1283  wex 1422  wcel 1434  wral 2353  wss 2982  cop 3419   cuni 3621  Rel wrel 4396  Fun wfun 4946
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-fun 4954
This theorem is referenced by:  funcnvuni  5019  fun11uni  5020
  Copyright terms: Public domain W3C validator