ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fvpr1g GIF version

Theorem fvpr1g 5395
Description: The value of a function with a domain of (at most) two elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
fvpr1g ((𝐴𝑉𝐶𝑊𝐴𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = 𝐶)

Proof of Theorem fvpr1g
StepHypRef Expression
1 df-pr 3410 . . . . 5 {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})
21fveq1i 5207 . . . 4 ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = (({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})‘𝐴)
3 necom 2304 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
4 fvunsng 5385 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐴))
53, 4sylan2b 275 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐴𝐵) → (({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐴))
62, 5syl5eq 2100 . . 3 ((𝐴𝑉𝐴𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐴))
763adant2 934 . 2 ((𝐴𝑉𝐶𝑊𝐴𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐴))
8 fvsng 5387 . . 3 ((𝐴𝑉𝐶𝑊) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐴) = 𝐶)
983adant3 935 . 2 ((𝐴𝑉𝐶𝑊𝐴𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐴) = 𝐶)
107, 9eqtrd 2088 1 ((𝐴𝑉𝐶𝑊𝐴𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  w3a 896   = wceq 1259  wcel 1409  wne 2220  cun 2943  {csn 3403  {cpr 3404  cop 3406  cfv 4930
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-sbc 2788  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-res 4385  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fv 4938
This theorem is referenced by:  fvtp1g  5397
  Copyright terms: Public domain W3C validator