ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fvsnun1 GIF version

Theorem fvsnun1 5585
Description: The value of a function with one of its ordered pairs replaced, at the replaced ordered pair. See also fvsnun2 5586. (Contributed by NM, 23-Sep-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
fvsnun.1 𝐴 ∈ V
fvsnun.2 𝐵 ∈ V
fvsnun.3 𝐺 = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ (𝐹 ↾ (𝐶 ∖ {𝐴})))
Assertion
Ref Expression
fvsnun1 (𝐺𝐴) = 𝐵

Proof of Theorem fvsnun1
StepHypRef Expression
1 fvsnun.3 . . . . 5 𝐺 = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ (𝐹 ↾ (𝐶 ∖ {𝐴})))
21reseq1i 4785 . . . 4 (𝐺 ↾ {𝐴}) = (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ (𝐹 ↾ (𝐶 ∖ {𝐴}))) ↾ {𝐴})
3 resundir 4803 . . . . 5 (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ (𝐹 ↾ (𝐶 ∖ {𝐴}))) ↾ {𝐴}) = (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴}) ∪ ((𝐹 ↾ (𝐶 ∖ {𝐴})) ↾ {𝐴}))
4 incom 3238 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∖ {𝐴}) ∩ {𝐴}) = ({𝐴} ∩ (𝐶 ∖ {𝐴}))
5 disjdif 3405 . . . . . . . . 9 ({𝐴} ∩ (𝐶 ∖ {𝐴})) = ∅
64, 5eqtri 2138 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∖ {𝐴}) ∩ {𝐴}) = ∅
7 resdisj 4937 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∖ {𝐴}) ∩ {𝐴}) = ∅ → ((𝐹 ↾ (𝐶 ∖ {𝐴})) ↾ {𝐴}) = ∅)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝐹 ↾ (𝐶 ∖ {𝐴})) ↾ {𝐴}) = ∅
98uneq2i 3197 . . . . . 6 (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴}) ∪ ((𝐹 ↾ (𝐶 ∖ {𝐴})) ↾ {𝐴})) = (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴}) ∪ ∅)
10 un0 3366 . . . . . 6 (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴}) ∪ ∅) = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴})
119, 10eqtri 2138 . . . . 5 (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴}) ∪ ((𝐹 ↾ (𝐶 ∖ {𝐴})) ↾ {𝐴})) = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴})
123, 11eqtri 2138 . . . 4 (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ (𝐹 ↾ (𝐶 ∖ {𝐴}))) ↾ {𝐴}) = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴})
132, 12eqtri 2138 . . 3 (𝐺 ↾ {𝐴}) = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴})
1413fveq1i 5390 . 2 ((𝐺 ↾ {𝐴})‘𝐴) = (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴})‘𝐴)
15 fvsnun.1 . . . 4 𝐴 ∈ V
1615snid 3526 . . 3 𝐴 ∈ {𝐴}
17 fvres 5413 . . 3 (𝐴 ∈ {𝐴} → ((𝐺 ↾ {𝐴})‘𝐴) = (𝐺𝐴))
1816, 17ax-mp 5 . 2 ((𝐺 ↾ {𝐴})‘𝐴) = (𝐺𝐴)
19 fvres 5413 . . . 4 (𝐴 ∈ {𝐴} → (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴})‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴))
2016, 19ax-mp 5 . . 3 (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴})‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴)
21 fvsnun.2 . . . 4 𝐵 ∈ V
2215, 21fvsn 5583 . . 3 ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵
2320, 22eqtri 2138 . 2 (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴})‘𝐴) = 𝐵
2414, 18, 233eqtr3i 2146 1 (𝐺𝐴) = 𝐵
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1316  wcel 1465  Vcvv 2660  cdif 3038  cun 3039  cin 3040  c0 3333  {csn 3497  cop 3500  cres 4511  cfv 5093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-res 4521  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101
This theorem is referenced by:  fac0  10442
  Copyright terms: Public domain W3C validator