Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fvsnun1 GIF version

Theorem fvsnun1 5388
 Description: The value of a function with one of its ordered pairs replaced, at the replaced ordered pair. See also fvsnun2 5389. (Contributed by NM, 23-Sep-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
fvsnun.1 𝐴 ∈ V
fvsnun.2 𝐵 ∈ V
fvsnun.3 𝐺 = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ (𝐹 ↾ (𝐶 ∖ {𝐴})))
Assertion
Ref Expression
fvsnun1 (𝐺𝐴) = 𝐵

Proof of Theorem fvsnun1
StepHypRef Expression
1 fvsnun.3 . . . . 5 𝐺 = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ (𝐹 ↾ (𝐶 ∖ {𝐴})))
21reseq1i 4636 . . . 4 (𝐺 ↾ {𝐴}) = (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ (𝐹 ↾ (𝐶 ∖ {𝐴}))) ↾ {𝐴})
3 resundir 4654 . . . . 5 (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ (𝐹 ↾ (𝐶 ∖ {𝐴}))) ↾ {𝐴}) = (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴}) ∪ ((𝐹 ↾ (𝐶 ∖ {𝐴})) ↾ {𝐴}))
4 incom 3157 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∖ {𝐴}) ∩ {𝐴}) = ({𝐴} ∩ (𝐶 ∖ {𝐴}))
5 disjdif 3324 . . . . . . . . 9 ({𝐴} ∩ (𝐶 ∖ {𝐴})) = ∅
64, 5eqtri 2076 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∖ {𝐴}) ∩ {𝐴}) = ∅
7 resdisj 4779 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∖ {𝐴}) ∩ {𝐴}) = ∅ → ((𝐹 ↾ (𝐶 ∖ {𝐴})) ↾ {𝐴}) = ∅)
86, 7ax-mp 7 . . . . . . 7 ((𝐹 ↾ (𝐶 ∖ {𝐴})) ↾ {𝐴}) = ∅
98uneq2i 3122 . . . . . 6 (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴}) ∪ ((𝐹 ↾ (𝐶 ∖ {𝐴})) ↾ {𝐴})) = (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴}) ∪ ∅)
10 un0 3279 . . . . . 6 (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴}) ∪ ∅) = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴})
119, 10eqtri 2076 . . . . 5 (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴}) ∪ ((𝐹 ↾ (𝐶 ∖ {𝐴})) ↾ {𝐴})) = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴})
123, 11eqtri 2076 . . . 4 (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ (𝐹 ↾ (𝐶 ∖ {𝐴}))) ↾ {𝐴}) = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴})
132, 12eqtri 2076 . . 3 (𝐺 ↾ {𝐴}) = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴})
1413fveq1i 5207 . 2 ((𝐺 ↾ {𝐴})‘𝐴) = (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴})‘𝐴)
15 fvsnun.1 . . . 4 𝐴 ∈ V
1615snid 3430 . . 3 𝐴 ∈ {𝐴}
17 fvres 5226 . . 3 (𝐴 ∈ {𝐴} → ((𝐺 ↾ {𝐴})‘𝐴) = (𝐺𝐴))
1816, 17ax-mp 7 . 2 ((𝐺 ↾ {𝐴})‘𝐴) = (𝐺𝐴)
19 fvres 5226 . . . 4 (𝐴 ∈ {𝐴} → (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴})‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴))
2016, 19ax-mp 7 . . 3 (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴})‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴)
21 fvsnun.2 . . . 4 𝐵 ∈ V
2215, 21fvsn 5386 . . 3 ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵
2320, 22eqtri 2076 . 2 (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴})‘𝐴) = 𝐵
2414, 18, 233eqtr3i 2084 1 (𝐺𝐴) = 𝐵
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   = wceq 1259   ∈ wcel 1409  Vcvv 2574   ∖ cdif 2942   ∪ cun 2943   ∩ cin 2944  ∅c0 3252  {csn 3403  ⟨cop 3406   ↾ cres 4375  ‘cfv 4930 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-sbc 2788  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-res 4385  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fv 4938 This theorem is referenced by:  fac0  9596
 Copyright terms: Public domain W3C validator